Как решить уравнение: cos2x - cosx = 0?

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos2x cosX решение уравнения Тригонометрия математика алгебра методы решения равенство угол Новый

Чтобы решить уравнение cos(2x) - cos(x) = 0, начнем с преобразования его в более удобный вид.

Шаг 1: Преобразование уравнения

Мы можем записать уравнение так:

• cos(2x) = cos(x)

Теперь воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

• cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Подставим это в наше уравнение:

• 2cos²(x) - 1 = cos(x)

Шаг 2: Приведение уравнения к квадратному виду

Переносим все члены в одну сторону:

• 2cos²(x) - cos(x) - 1 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим:

• y = cos(x)

Тогда уравнение примет вид:

• 2y² - y - 1 = 0

Шаг 3: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения используем формулу корней:

• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 2, b = -1, c = -1. Подставляем значения:

• y = (1 ± √((-1)² - 4 * 2 * (-1))) / (2 * 2)
• y = (1 ± √(1 + 8)) / 4
• y = (1 ± √9) / 4
• y = (1 ± 3) / 4

Теперь находим два возможных значения для y:

• y₁ = (1 + 3) / 4 = 4 / 4 = 1
• y₂ = (1 - 3) / 4 = -2 / 4 = -1/2

Шаг 4: Обратное преобразование

Теперь вернемся к cos(x) и решим для каждого случая:

• cos(x) = 1
• cos(x) = -1/2

Решим первое уравнение:

• x = 0 + 2πn, где n - любое целое число.

Теперь решим второе уравнение:

• cos(x) = -1/2

Это уравнение имеет решения:

• x = 2π/3 + 2πn
• x = 4π/3 + 2πn

Шаг 5: Запись общего решения

Таким образом, общее решение уравнения cos(2x) - cos(x) = 0 будет:

• x = 0 + 2πn
• x = 2π/3 + 2πn
• x = 4π/3 + 2πn

Где n - любое целое число. Это и есть все решения данного уравнения.