Как решить уравнение: log3 (x-3) + log3 (x+3) = 2log3 (x-1)?

Математика 10 класс Логарифмические уравнения уравнение логарифмы решение уравнения математика 10 класс log3 x-3 x+3 x-1 Новый

Для решения уравнения log3 (x-3) + log3 (x+3) = 2log3 (x-1) мы будем использовать свойства логарифмов. Давайте разберем это шаг за шагом.

1. Объединим логарифмы с левой стороны уравнения. По свойству логарифмов, сумма логарифмов можно записать как логарифм произведения:
• log3 (x-3) + log3 (x+3) = log3 ((x-3)(x+3)) = log3 (x^2 - 9).
2. Перепишем правую сторону уравнения. Мы знаем, что 2log3 (x-1) можно записать как:
• 2log3 (x-1) = log3 ((x-1)^2).
3. Теперь у нас есть уравнение:
• log3 (x^2 - 9) = log3 ((x-1)^2).
4. Так как логарифмы равны, их аргументы также равны:
• x^2 - 9 = (x - 1)^2.
5. Раскроем скобки на правой стороне:
• (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1.
6. Теперь у нас есть уравнение:
• x^2 - 9 = x^2 - 2x + 1.
7. Упростим уравнение, вычтя x^2 из обеих сторон:
• -9 = -2x + 1.
8. Переносим все члены на одну сторону:
• -2x = -9 - 1.
• -2x = -10.
9. Теперь делим обе стороны на -2:
• x = 5.
10. Проверим, подходит ли найденное значение x = 5 для исходного уравнения:
• log3 (5 - 3) + log3 (5 + 3) = log3 (2) + log3 (8) = log3 (16).
• 2log3 (5 - 1) = 2log3 (4) = log3 (16).
11. Поскольку обе стороны равны, решение x = 5 верно.

Таким образом, ответ: x = 5.