Как решить уравнение: log3 (x²-4x-5) = log3 (7-3x)?

Математика 10 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 10 класс log3 уравнение с логарифмами алгебра x²-4x-5 7-3x Новый

Чтобы решить уравнение log3 (x²-4x-5) = log3 (7-3x), начнем с того, что если логарифмы равны, то их аргументы также равны. Это означает, что мы можем записать:

x² - 4x - 5 = 7 - 3x

Теперь давайте перенесем все члены в одну сторону уравнения:

• Сначала добавим 3x к обеим сторонам:

x² - 4x + 3x - 5 = 7

• Теперь упростим это:

x² - x - 5 = 7

• Теперь вычтем 7 из обеих сторон:

x² - x - 12 = 0

Теперь мы имеем квадратное уравнение. Чтобы его решить, можем воспользоваться формулой корней квадратного уравнения:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -1, c = -12. Подставим эти значения в формулу:

• Сначала найдем дискриминант:

D = b² - 4ac = (-1)² - 4 * 1 * (-12) = 1 + 48 = 49

• Теперь подставим дискриминант в формулу:

x = (1 ± √49) / 2

√49 = 7, поэтому:

x = (1 + 7) / 2 = 8 / 2 = 4

x = (1 - 7) / 2 = -6 / 2 = -3

Мы получили два решения: x = 4 и x = -3.

Теперь нужно проверить, подходят ли эти значения в исходное уравнение, так как логарифмы определены только для положительных аргументов:

• Для x = 4:
• x² - 4x - 5 = 4² - 4*4 - 5 = 16 - 16 - 5 = -5 (не подходит)
• 7 - 3x = 7 - 3*4 = 7 - 12 = -5 (не подходит)
• Для x = -3:
• x² - 4x - 5 = (-3)² - 4*(-3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16 (подходит)
• 7 - 3x = 7 - 3*(-3) = 7 + 9 = 16 (подходит)

Таким образом, единственное решение уравнения:

x = -3