Давайте разберем, как определить область определения и множество значений квадратичной функции f(x) = -2(x-8)(x+2).

Шаг 1: Область определения

Область определения функции – это множество всех значений переменной x, для которых функция f(x) имеет смысл. В случае квадратичной функции, как наша, область определения включает все действительные числа. Это связано с тем, что квадратичные функции определены для всех x. Таким образом, область определения будет:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).

Шаг 2: Множество значений

Теперь давайте найдем множество значений функции, то есть все возможные значения f(x). Для этого сначала найдем вершину параболы, так как квадратичная функция имеет форму параболы, и ее вершина будет определять максимальное или минимальное значение функции.

• Коэффициент a = -2 (отрицательный),значит, парабола обращена вниз и имеет максимальное значение.

Чтобы найти координаты вершины параболы, используем формулу:

• x_вершины = -b/(2a),где b - это коэффициент при x в стандартной форме уравнения.

Сначала преобразуем нашу функцию в стандартный вид:

f(x) = -2(x^2 - 6x - 16) = -2x^2 + 12x + 32.

Теперь у нас есть a = -2 и b = 12. Подставим в формулу:

• x_вершины = -12 / (2 * -2) = -12 / -4 = 3.

Теперь подставим x_вершины обратно в функцию, чтобы найти максимальное значение:

• f(3) = -2(3-8)(3+2) = -2(-5)(5) = -2 * -25 = 50.

Таким образом, максимальное значение функции равно 50, а так как парабола открыта вниз, функция будет принимать все значения от -∞ до 50:

• Множество значений: f(x) ∈ (-∞, 50].

Итак, подводя итог:

• Область определения: x ∈ R (все действительные числа).
• Множество значений: f(x) ∈ (-∞, 50].

Если у вас остались вопросы, не стесняйтесь задавать их!