Каковы основные свойства тригонометрических функций, такие как область определения, область значения, четность (нечетность), наименьший положительный период, координаты точек пересечения с осями OX и OY, промежутки, на которых функции принимают положительные и отрицательные значения, а также точки минимума и максимума для функций f(x)=sin x, f(x)=cos x, f(x)=tg x и f(x)=ctg x?

Математика 10 класс Тригонометрические функции свойства тригонометрических функций область определения область значения четность нечетность наименьший положительный период точки пересечения с осями промежутки положительных значений промежутки отрицательных значений точки минимума точки максимума функции синуса функции косинуса функции тангенса функции котангенса Новый

Давайте рассмотрим основные свойства тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Мы будем анализировать каждую функцию по отдельности.

1. Функция f(x) = sin x

• Область определения: вся числовая ось, то есть x ∈ R.
• Область значения: от -1 до 1, то есть [-1, 1].
• Четность: нечетная функция, так как sin(-x) = -sin(x).
• Наименьший положительный период: 2π.
• Координаты точек пересечения с осями:
  • С осью OX: x = nπ, где n – целое число.
  • С осью OY: (0, 0).
• Промежутки, на которых функция положительна и отрицательна:
  • Положительна на (0, π), (2π, 3π), ...
  • Отрицательна на (π, 2π), (3π, 4π), ...
• Точки минимума и максимума:
  • Максимум: (π/2, 1).
  • Минимум: (3π/2, -1).

2. Функция f(x) = cos x

• Область определения: вся числовая ось, то есть x ∈ R.
• Область значения: от -1 до 1, то есть [-1, 1].
• Четность: четная функция, так как cos(-x) = cos(x).
• Наименьший положительный период: 2π.
• Координаты точек пересечения с осями:
  • С осью OX: x = π/2 + nπ, где n – целое число.
  • С осью OY: (0, 1).
• Промежутки, на которых функция положительна и отрицательна:
  • Положительна на (-π/2, π/2), (3π/2, 5π/2), ...
  • Отрицательна на (π/2, 3π/2), (5π/2, 7π/2), ...
• Точки минимума и максимума:
  • Максимум: (0, 1).
  • Минимум: (π, -1).

3. Функция f(x) = tg x

• Область определения: x ∈ R, x ≠ π/2 + nπ, где n – целое число.
• Область значения: вся числовая ось, то есть R.
• Четность: нечетная функция, так как tg(-x) = -tg(x).
• Наименьший положительный период: π.
• Координаты точек пересечения с осями:
  • С осью OX: x = nπ, где n – целое число.
  • С осью OY: (0, 0).
• Промежутки, на которых функция положительна и отрицательна:
  • Положительна на (0, π/2), (π, 3π/2), ...
  • Отрицательна на (-π/2, 0), (π/2, π), ...
• Точки минимума и максимума:
  • Нет точек максимума и минимума, так как функция не ограничена.

4. Функция f(x) = ctg x

• Область определения: x ∈ R, x ≠ nπ, где n – целое число.
• Область значения: вся числовая ось, то есть R.
• Четность: нечетная функция, так как ctg(-x) = -ctg(x).
• Наименьший положительный период: π.
• Координаты точек пересечения с осями:
  • С осью OX: x = π/2 + nπ, где n – целое число.
  • С осью OY: не пересекает, так как ctg(0) не определена.
• Промежутки, на которых функция положительна и отрицательна:
  • Положительна на (0, π), (2π, 3π), ...
  • Отрицательна на (π, 2π), (3π, 4π), ...
• Точки минимума и максимума:
  • Нет точек максимума и минимума, так как функция не ограничена.

Таким образом, мы рассмотрели основные свойства тригонометрических функций, что поможет вам лучше понять их поведение и применение.