На доске написано число 9876543210. Какое количество способов вычеркнуть несколько цифр (но не все), чтобы получить число, кратное 4?

Математика 10 класс Комбинаторика математика 10 задача на кратность вычеркивание цифр число кратное 4 комбинаторика способы выбора цифр Новый

Чтобы решить задачу, давайте вспомним, что число является кратным 4, если его последние две цифры образуют число, которое делится на 4. Поэтому мы будем искать пары цифр в числе 9876543210, которые можно оставить на конце и которые будут кратны 4.

Сначала запишем все возможные пары последних цифр, которые можно получить из числа 9876543210:

• 10
• 20
• 30
• 40
• 50
• 60
• 70
• 80
• 90
• 01
• 21
• 31
• 41
• 51
• 61
• 71
• 81
• 91
• 02
• 12
• 32
• 42
• 52
• 62
• 72
• 82
• 92
• 03
• 13
• 23
• 33
• 43
• 53
• 63
• 73
• 83
• 93
• 04
• 14
• 24
• 34
• 44
• 54
• 64
• 74
• 84
• 94
• 05
• 15
• 25
• 35
• 45
• 55
• 65
• 75
• 85
• 95
• 06
• 16
• 26
• 36
• 46
• 56
• 66
• 76
• 86
• 96
• 07
• 17
• 27
• 37
• 47
• 57
• 67
• 77
• 87
• 97
• 08
• 18
• 28
• 38
• 48
• 58
• 68
• 78
• 88
• 98
• 09
• 19
• 29
• 39
• 49
• 59
• 69
• 79
• 89
• 99

Теперь проверим, какие из этих пар кратны 4:

• 20 (кратно 4)
• 24 (кратно 4)
• 32 (кратно 4)
• 40 (кратно 4)
• 52 (кратно 4)
• 60 (кратно 4)
• 72 (кратно 4)
• 80 (кратно 4)
• 92 (кратно 4)
• 04 (кратно 4)

Теперь мы знаем, что нам нужно оставить на конце числа одну из этих пар. После того как мы выберем пару, нам нужно будет выбрать, какие цифры оставить перед ними. Поскольку мы можем оставить любую комбинацию цифр перед выбранной парой, мы можем использовать формулу для подсчета количества способов выбора цифр.

Для каждой пары из 10 цифр мы можем оставить или не оставить каждую из оставшихся 8 цифр (всего 2 в степени 8 способов). Однако, поскольку мы не можем вычеркнуть все цифры, мы вычтем 1 из общего количества способов:

Итак, общее количество способов для каждой пары будет равно 2^8 - 1.

Поскольку у нас 10 пар, общее количество способов будет:

10 * (2^8 - 1) = 10 * (256 - 1) = 10 * 255 = 2550.

Ответ: 2550 способов.