Помогите решить. cos(2x) - 5 * корень квадратный из 2 * cos(x) - 5 = 0

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения решение уравнения cos(2X) корень квадратный из 2 Тригонометрия математические уравнения алгебра cos(x) задачи по математике Новый

Для решения уравнения cos(2x) - 5 * корень квадратный из 2 * cos(x) - 5 = 0, начнем с того, что мы знаем, что функция cos(2x) может быть выражена через cos(x) с помощью формулы двойного угла:

Формула двойного угла:

• cos(2x) = 2 * cos^2(x) - 1

Подставим это выражение в наше уравнение:

2 * cos^2(x) - 1 - 5 * корень квадратный из 2 * cos(x) - 5 = 0

Теперь упростим уравнение:

2 * cos^2(x) - 5 * корень квадратный из 2 * cos(x) - 6 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим cos(x) как y:

2y^2 - 5 * корень квадратный из 2 * y - 6 = 0

Теперь мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения:

Формула решения квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

Где a = 2, b = -5 * корень квадратный из 2, c = -6.

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

Дискриминант D = b^2 - 4ac:

D = (-5 * корень квадратный из 2)^2 - 4 * 2 * (-6)

D = 50 + 48 = 98

Теперь подставим D в формулу для y:

y = (5 * корень квадратный из 2 ± √98) / (2 * 2)

Упростим выражение:

√98 = √(49 * 2) = 7 * корень квадратный из 2, следовательно:

y = (5 * корень квадратный из 2 ± 7 * корень квадратный из 2) / 4

Теперь у нас есть два возможных значения для y:

• y1 = (12 * корень квадратный из 2) / 4 = 3 * корень квадратный из 2
• y2 = (-2 * корень квадратный из 2) / 4 = -корень квадратный из 2 / 2

Теперь вернемся к cos(x):

cos(x) = 3 * корень квадратный из 2, cos(x) = -корень квадратный из 2 / 2.

Однако, значение cos(x) не может превышать 1. Поэтому, мы отбрасываем первое значение:

cos(x) = -корень квадратный из 2 / 2.

Теперь найдем x:

cos(x) = -корень квадратный из 2 / 2.

Это значение соответствует углам:

• x = 3π/4 + 2kπ
• x = 5π/4 + 2kπ

где k – любое целое число.

Таким образом, решение уравнения cos(2x) - 5 * корень квадратный из 2 * cos(x) - 5 = 0:

• x = 3π/4 + 2kπ
• x = 5π/4 + 2kπ