Похожие вопросы
2025-03-10 13:05:04
Помогите решить уравнение:
7sinx + 2cos2x - 5 = 0
Математика 10 класс Тригонометрические уравнения уравнение решение уравнения математика 10 класс тригонометрические функции синус косинус алгебра математические задачи
2025-03-10 13:05:26
Давайте решим уравнение: 7sin(x) + 2cos(2x) - 5 = 0.
Первым шагом мы можем выразить cos(2x) через sin(x) с помощью тригонометрической формулы:
- cos(2x) = 1 - 2sin²(x).
Теперь подставим это выражение в уравнение:
7sin(x) + 2(1 - 2sin²(x)) - 5 = 0.
Раскроем скобки:
7sin(x) + 2 - 4sin²(x) - 5 = 0.
Упростим уравнение:
-4sin²(x) + 7sin(x) - 3 = 0.
Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно sin(x). Перепишем его в стандартной форме:
4sin²(x) - 7sin(x) + 3 = 0.
Для решения квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта:
- D = b² - 4ac, где a = 4, b = -7, c = 3.
Посчитаем дискриминант:
D = (-7)² - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1.
Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня. Найдем их с помощью формулы корней:
- sin(x) = ( -b ± √D ) / 2a.
Подставим значения:
sin(x) = (7 ± √1) / (2 * 4) = (7 ± 1) / 8.
Таким образом, получаем два значения:
- sin(x) = (7 + 1) / 8 = 8 / 8 = 1,
- sin(x) = (7 - 1) / 8 = 6 / 8 = 3 / 4.
Теперь решим каждое из полученных значений.
1. Для sin(x) = 1:
- x = π/2 + 2kπ, где k - любое целое число.
2. Для sin(x) = 3/4:
- x = arcsin(3/4) + 2kπ и x = π - arcsin(3/4) + 2kπ, где k - любое целое число.
Таким образом, окончательные решения уравнения:
- x = π/2 + 2kπ,
- x = arcsin(3/4) + 2kπ,
- x = π - arcsin(3/4) + 2kπ.
Не забудьте, что k - любое целое число.
