Похожие вопросы
2024-12-02 13:59:46
Помогите решить уравнение: cos2x - 5 * корень квадратный из 2 * cosx - 5 = 0
Математика 10 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos2x Корень квадратный cosX решение уравнения математика Тригонометрия алгебра задачи по математике математические уравнения
2024-12-11 13:49:59
Привет, энтузиаст! Давай вместе решим это уравнение! Это будет увлекательно!
У нас есть уравнение:
cos(2x) - 5 * √2 * cos(x) - 5 = 0
Сначала вспомним, что cos(2x) можно выразить через cos(x):
cos(2x) = 2 * cos²(x) - 1
Подставим это в уравнение:
2 * cos²(x) - 1 - 5 * √2 * cos(x) - 5 = 0
Теперь упростим уравнение:
2 * cos²(x) - 5 * √2 * cos(x) - 6 = 0
Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), и у нас получится:
2y² - 5√2y - 6 = 0
Теперь применим формулу для решения квадратных уравнений:
y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
Где:
- a = 2
- b = -5√2
- c = -6
Теперь подставим значения:
y = (5√2 ± √((-5√2)² - 4 * 2 * (-6))) / (2 * 2)
Посчитаем дискриминант:
D = (25 * 2) + 48 = 50 + 48 = 98
Теперь можем найти y:
y = (5√2 ± √98) / 4
Сначала упростим √98:
√98 = √(49 * 2) = 7√2
Теперь подставим это обратно:
y = (5√2 ± 7√2) / 4
Это дает нам два значения:
- y1 = (12√2) / 4 = 3√2
- y2 = (-2√2) / 4 = -√2/2
Теперь вспомним, что y = cos(x):
cos(x) = 3√2 (это не подходит, так как cos(x) не может быть больше 1)
cos(x) = -√2/2 (это возможно!)
Теперь найдем x:
x = arccos(-√2/2)
Это дает нам:
- x = 3π/4 + 2kπ
- x = 5π/4 + 2kπ
Где k – любое целое число.
Вот и всё! Мы решили уравнение с энтузиазмом и радостью! Если есть вопросы, не стесняйся, спрашивай!
