Помогите решить уравнение: cos2x - 5 * корень квадратный из 2 * cosx - 5 = 0

Математика 10 класс Тригонометрические уравнения уравнение cos2x Корень квадратный cosX решение уравнения математика Тригонометрия алгебра задачи по математике математические уравнения Новый

Привет, энтузиаст! Давай вместе решим это уравнение! Это будет увлекательно!

У нас есть уравнение:

cos(2x) - 5 * √2 * cos(x) - 5 = 0

Сначала вспомним, что cos(2x) можно выразить через cos(x):

cos(2x) = 2 * cos²(x) - 1

Подставим это в уравнение:

2 * cos²(x) - 1 - 5 * √2 * cos(x) - 5 = 0

Теперь упростим уравнение:

2 * cos²(x) - 5 * √2 * cos(x) - 6 = 0

Это квадратное уравнение относительно cos(x). Обозначим y = cos(x), и у нас получится:

2y² - 5√2y - 6 = 0

Теперь применим формулу для решения квадратных уравнений:

y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Где:

• a = 2
• b = -5√2
• c = -6

Теперь подставим значения:

y = (5√2 ± √((-5√2)² - 4 * 2 * (-6))) / (2 * 2)

Посчитаем дискриминант:

D = (25 * 2) + 48 = 50 + 48 = 98

Теперь можем найти y:

y = (5√2 ± √98) / 4

Сначала упростим √98:

√98 = √(49 * 2) = 7√2

Теперь подставим это обратно:

y = (5√2 ± 7√2) / 4

Это дает нам два значения:

1. y1 = (12√2) / 4 = 3√2
2. y2 = (-2√2) / 4 = -√2/2

Теперь вспомним, что y = cos(x):

cos(x) = 3√2 (это не подходит, так как cos(x) не может быть больше 1)

cos(x) = -√2/2 (это возможно!)

Теперь найдем x:

x = arccos(-√2/2)

Это дает нам:

• x = 3π/4 + 2kπ
• x = 5π/4 + 2kπ

Где k – любое целое число.

Вот и всё! Мы решили уравнение с энтузиазмом и радостью! Если есть вопросы, не стесняйся, спрашивай!