Давайте поэтапно решим задачу, начиная с построения треугольника и нахождения длин его сторон.

1) Нахождение длин сторон треугольника АВ, ВС, АС:

Для нахождения длины отрезка между двумя точками в пространстве, используем формулу:

длина = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²).

• Длина АВ:
• Координаты точки A: (-2; 3; 1)
• Координаты точки B: (0; 2; 8)
• Подставляем в формулу:
• длина АВ = √((0 - (-2))² + (2 - 3)² + (8 - 1)²)
• = √(2² + (-1)² + 7²) = √(4 + 1 + 49) = √54 = 3√6.
• Длина ВС:
• Координаты точки B: (0; 2; 8)
• Координаты точки C: (-1; -1; 2)
• Подставляем в формулу:
• длина ВС = √((-1 - 0)² + (-1 - 2)² + (2 - 8)²)
• = √((-1)² + (-3)² + (-6)²) = √(1 + 9 + 36) = √46.
• Длина АС:
• Координаты точки A: (-2; 3; 1)
• Координаты точки C: (-1; -1; 2)
• Подставляем в формулу:
• длина АС = √((-1 - (-2))² + (-1 - 3)² + (2 - 1)²)
• = √(1² + (-4)² + 1²) = √(1 + 16 + 1) = √18 = 3√2.

2) Нахождение координат точки E - середины отрезка AC:

Координаты середины отрезка между двумя точками A(x1, y1, z1) и C(x2, y2, z2) вычисляются по формуле:

E = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2).

• Координаты точки A: (-2; 3; 1)
• Координаты точки C: (-1; -1; 2)
• Подставляем в формулу:
• E = ((-2 + (-1)) / 2, (3 + (-1)) / 2, (1 + 2) / 2)
• = (-3 / 2, 2 / 2, 3 / 2) = (-1.5, 1, 1.5).

3) Нахождение косинусов углов A, B, C:

Косинус угла между двумя векторами можно вычислить по формуле:

cos(угол) = (a * b) / (|a| * |b|),

где a и b - векторы, образующие угол.

Сначала найдем векторы:

• Вектор AB = B - A = (0 - (-2), 2 - 3, 8 - 1) = (2, -1, 7).
• Вектор AC = C - A = (-1 - (-2), -1 - 3, 2 - 1) = (1, -4, 1).
• Вектор BC = C - B = (-1 - 0, -1 - 2, 2 - 8) = (-1, -3, -6).

Теперь найдем длины векторов:

• |AB| = √(2² + (-1)² + 7²) = √54 = 3√6.
• |AC| = √(1² + (-4)² + 1²) = √18 = 3√2.
• |BC| = √((-1)² + (-3)² + (-6)²) = √46.

Теперь можем найти косинусы углов:

• cos A:
• cos A = (AB * AC) / (|AB| * |AC|).
• Скалярное произведение AB и AC = 2 * 1 + (-1) * (-4) + 7 * 1 = 2 + 4 + 7 = 13.
• cos A = 13 / (3√6 * 3√2) = 13 / (9√12) = 13 / (18√3).
• cos B:
• cos B = (AB * BC) / (|AB| * |BC|).
• Скалярное произведение AB и BC = 2 * (-1) + (-1) * (-3) + 7 * (-6) = -2 + 3 - 42 = -41.
• cos B = -41 / (3√6 * √46).
• cos C:
• cos C = (AC * BC) / (|AC| * |BC|).
• Скалярное произведение AC и BC = 1 * (-1) + (-4) * (-3) + 1 * (-6) = -1 + 12 - 6 = 5.
• cos C = 5 / (3√2 * √46).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения: длины сторон, координаты точки E и косинусы углов треугольника.