Саша отметил на прямой 200 точек и для каждых двух точек выписал в тетрадке расстояние между ними. Все 19900 выписанных чисел оказались целыми, и одно из них равно 2023. Саша подчеркнул все числа, не делящиеся на 4. Какое наименьшее количество подчеркнутых чисел могло оказаться в тетрадке?

Математика 10 класс Комбинаторика математика расстояние между точками целые числа делимость на 4 задачи по математике Новый

Для того чтобы решить эту задачу, давайте сначала поймем, что Саша отметил 200 точек на прямой. Обозначим эти точки как A1, A2, A3, ..., A200. Расстояние между любыми двумя точками Ai и Aj (где i < j) равно |Aj - Ai|.

Общее количество различных расстояний между точками можно вычислить следующим образом:

• Существует 200 точек.
• Количество способов выбрать 2 точки из 200 равно C(200, 2) = 200 * 199 / 2 = 19900.

Теперь, если одно из расстояний равно 2023, это значит, что разность между двумя точками составляет 2023. Поскольку все расстояния между точками целые, это также означает, что все точки могут быть расположены на целых координатах.

Теперь давайте рассмотрим, какое количество расстояний будет подчеркнуто. Саша подчеркнул все числа, которые не делятся на 4. Для этого нам нужно определить, какие расстояния могут возникнуть между точками и как они делятся на 4.

Расстояние между двумя точками может быть представлено как разность двух целых чисел. Если точки расположены на целых координатах, то разности могут быть как четными, так и нечетными.

Число, которое делится на 4, может быть представлено в виде:

• 4k (где k - целое число)
• 4k + 1
• 4k + 2
• 4k + 3

Числа, не делящиеся на 4, будут в двух последних случаях: 4k + 1 и 4k + 3.

Теперь давайте выясним, какое наименьшее количество подчеркнутых чисел может быть. Мы знаем, что:

• Числа, которые делятся на 4, составляют 50% от всех целых чисел, так как среди каждых четырех последовательных целых чисел одно делится на 4.
• Числа, которые дают остаток 1 или 3 при делении на 4 также составляют 50% от всех целых чисел.

Таким образом, из 19900 расстояний:

• 50% из них (или 9950) будут делиться на 4.
• Остальные 9950 расстояний будут не делиться на 4 (это как раз 4k + 1 и 4k + 3).

Следовательно, наименьшее количество подчеркнутых расстояний, которое могло оказаться в тетрадке, равно 9950.

Ответ: 9950