В кубе ABCDA1B1C1D1 каков угол между плоскостями (A1BC) и (BB1C)?

Математика 10 класс Геометрия в пространстве Угол между плоскостями куб ABCDA1B1C1D1 математика 10 класс геометрия плоскости в пространстве Новый

Чтобы найти угол между плоскостями (A1BC) и (BB1C) в кубе ABCDA1B1C1D1, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Определение координат вершин куба

Предположим, что куб расположен в трехмерном пространстве с вершинами:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Шаг 2: Нахождение нормалей к плоскостям

Теперь найдем векторы, лежащие в каждой из плоскостей:

• Для плоскости (A1BC): вектор A1B = B - A1 = (1, 0, 0) - (0, 0, 1) = (1, 0, -1) и вектор A1C = C - A1 = (1, 1, 0) - (0, 0, 1) = (1, 1, -1).
• Для плоскости (BB1C): вектор B1B = B - B1 = (1, 0, 0) - (1, 0, 1) = (0, 0, -1) и вектор B1C = C - B1 = (1, 1, 0) - (1, 0, 1) = (0, 1, -1).

Шаг 3: Нахождение нормалей

Теперь найдем нормали к плоскостям, используя векторное произведение:

• Для плоскости A1BC: N1 = A1B x A1C = (1, 0, -1) x (1, 1, -1).
• Для плоскости BB1C: N2 = B1B x B1C = (0, 0, -1) x (0, 1, -1).

Шаг 4: Вычисление векторных произведений

Вычислим N1:

• N1 = |i j k|
• |1 0 -1|
• |1 1 -1|

Решая это определение, получаем N1 = (1, 0, 1).

Теперь вычислим N2:

• N2 = |i j k|
• |0 0 -1|
• |0 1 -1|

Решая это определение, получаем N2 = (1, 0, 0).

Шаг 5: Нахождение угла между нормалями

Теперь, чтобы найти угол между плоскостями, используем формулу для косинуса угла между векторами:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),

где "•" - скалярное произведение векторов, а |N| - длина вектора.

Шаг 6: Вычисление скалярного произведения и длин векторов

• Скалярное произведение N1 • N2 = (1, 0, 1) • (1, 0, 0) = 1.
• Длина N1 = sqrt(1^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(2).
• Длина N2 = sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = 1.

Шаг 7: Подстановка значений

Теперь подставим значения в формулу:

cos(θ) = 1 / (sqrt(2) * 1) = 1 / sqrt(2).

Шаг 8: Нахождение угла

Таким образом, угол θ = arccos(1 / sqrt(2)) = 45 градусов.

Ответ: Угол между плоскостями (A1BC) и (BB1C) равен 45 градусов.