В кубе ABCDMNKP укажи угол между прямой AK и плоскостью BNC.

Математика 10 класс Геометрия в пространстве угол между прямой и плоскостью куб ABCDMNKP прямая AK плоскость BNC геометрия 10 класс задачи по геометрии Новый

Чтобы найти угол между прямой AK и плоскостью BNC в кубе ABCDMNKP, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин куба. Предположим, что куб имеет длину ребра 1 и расположен в трехмерной системе координат следующим образом:
• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• M(0, 0, 1)
• N(1, 0, 1)
• K(1, 1, 1)
• P(0, 1, 1)
2. Найдем вектор прямой AK. Вектор AK можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки K:
• AK = K - A = (1, 1, 1) - (0, 0, 0) = (1, 1, 1).
3. Определим вектор, лежащий в плоскости BNC. Чтобы найти вектор, лежащий в плоскости BNC, найдем два вектора, например, BN и BC:
• BN = N - B = (1, 0, 1) - (1, 0, 0) = (0, 0, 1),
• BC = C - B = (1, 1, 0) - (1, 0, 0) = (0, 1, 0).
4. Найдём векторное произведение BN и BC. Векторное произведение двух векторов дает нормаль к плоскости:
• BN x BC = |i j k|
• |0 0 1|
• |0 1 0|
• = (0*0 - 1*1)i - (0*0 - 0*1)j + (0*1 - 0*0)k = (-1, 0, 0).
5. Нормализуем вектор нормали. Вектор нормали (-1, 0, 0) уже нормализован, так как его длина равна 1.
6. Находим угол между вектором AK и нормалью к плоскости. Угол между вектором и плоскостью можно найти, используя скалярное произведение:
• cos(θ) = (AK • n) / (|AK| * |n|),
• где n - нормаль к плоскости, θ - угол между вектором и нормалью.
7. Вычисляем скалярное произведение.
• AK • n = (1, 1, 1) • (-1, 0, 0) = 1 * (-1) + 1 * 0 + 1 * 0 = -1.
8. Находим длины векторов.
• |AK| = √(1^2 + 1^2 + 1^2) = √3,
• |n| = 1.
9. Теперь подставим в формулу:
• cos(θ) = -1 / (√3 * 1) = -1/√3.
10. Находим угол θ:
• θ = arccos(-1/√3).

Таким образом, угол между прямой AK и плоскостью BNC равен arccos(-1/√3).