В семье 5 детей. Какова вероятность того, что среди них будет более трех мальчиков, если вероятность рождения мальчика составляет 0.51?

Математика 10 класс Вероятность и статистика вероятность дети мальчики математика вероятность рождения семейные задачи комбинаторика Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать биномиальное распределение, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (рождения детей), два возможных исхода (мальчик или девочка) и известная вероятность рождения мальчика.

Обозначим:

• n = 5 (общее количество детей),
• p = 0.51 (вероятность рождения мальчика),
• q = 1 - p = 0.49 (вероятность рождения девочки).

Мы ищем вероятность того, что среди 5 детей будет более 3 мальчиков. Это означает, что нас интересуют случаи, когда будет 4 или 5 мальчиков. Мы можем записать это как:

P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)

Где P(X = k) можно вычислить по формуле биномиального распределения:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k)

где C(n, k) - это биномиальный коэффициент, который вычисляется по формуле:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)

Теперь давайте посчитаем P(X = 4) и P(X = 5):

1. Для P(X = 4):
   • k = 4, n = 5, p = 0.51, q = 0.49.
   • Сначала находим C(5, 4):
   • C(5, 4) = 5! / (4! * (5 - 4)!) = 5 / 1 = 5.
   • Теперь подставим в формулу:
   • P(X = 4) = C(5, 4) * (0.51)^4 * (0.49)^(5-4) = 5 * (0.51)^4 * (0.49)^1.
2. Для P(X = 5):
   • k = 5, n = 5, p = 0.51, q = 0.49.
   • Находим C(5, 5):
   • C(5, 5) = 5! / (5! * (5 - 5)!) = 1.
   • Теперь подставим в формулу:
   • P(X = 5) = C(5, 5) * (0.51)^5 * (0.49)^(5-5) = 1 * (0.51)^5 * (0.49)^0 = (0.51)^5.

Теперь давайте посчитаем численные значения:

1. P(X = 4) = 5 * (0.51)^4 * (0.49) = 5 * 0.0671 * 0.49 ≈ 0.1647.
2. P(X = 5) = (0.51)^5 ≈ 0.1307.

Теперь складываем эти вероятности:

P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5) ≈ 0.1647 + 0.1307 ≈ 0.2954.

Итак, вероятность того, что среди 5 детей будет более 3 мальчиков, составляет примерно 0.2954 или 29.54%.