В треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, тангенс угла A составляет 0,2, а длина стороны AB равна 13, как можно вычислить высоту AH?

Математика 10 класс Треугольники треугольник ABC угол C 90 градусов тангенс угла A высота AH длина стороны AB 13 Новый

Для решения задачи начнем с того, что в треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, мы можем использовать свойства тангенса и теорему Пифагора.

1. **Определим стороны треугольника.** Поскольку угол C равен 90 градусов, стороны AB, BC и AC можно обозначить как:

• AB - гипотенуза
• BC - противолежащая сторона к углу A
• AC - прилежащая сторона к углу A

2. **Используем определение тангенса.** Тангенс угла A равен отношению противолежащей стороны (BC) к прилежащей стороне (AC):

tan(A) = BC / AC = 0,2.

3. **Выразим одну сторону через другую.** Из этого равенства мы можем выразить BC через AC:

BC = 0,2 * AC.

4. **Применим теорему Пифагора.** В треугольнике ABC выполняется следующее равенство:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

Подставим известные значения и выражение для BC:

13^2 = AC^2 + (0,2 * AC)^2.

5. **Упростим уравнение.** Подставим значения:

169 = AC^2 + 0,04 * AC^2.

169 = AC^2 * (1 + 0,04) = AC^2 * 1,04.

6. **Решим уравнение для AC.** Разделим обе стороны на 1,04:

AC^2 = 169 / 1,04.

AC^2 ≈ 162,5.

AC ≈ √162,5 ≈ 12,7.

7. **Теперь найдем длину BC.** Подставим значение AC в уравнение для BC:

BC = 0,2 * 12,7 ≈ 2,54.

8. **Находим высоту AH.** Высота AH в треугольнике ABC делит его на два меньших прямоугольных треугольника. Площадь треугольника ABC можно выразить двумя способами:

• 1/2 * AC * BC
• 1/2 * AB * AH

9. **Сравним площади.** У нас есть:

(1/2) * AC * BC = (1/2) * AB * AH.

Подставим известные значения:

(1/2) * 12,7 * 2,54 = (1/2) * 13 * AH.

10. **Упростим уравнение и найдем AH.** Убираем (1/2) и решаем:

12,7 * 2,54 = 13 * AH.

AH = (12,7 * 2,54) / 13.

AH ≈ 2,5.

Таким образом, высота AH равна примерно 2,5 единицам.