Вопрос: Решите систему линейных уравнений методом Гаусса и с использованием формул Крамера. Проверьте полученные результаты. Система уравнений:

• х + 2у = -2
• 3х - у = 8

Математика 10 класс Системы линейных уравнений Система линейных уравнений метод Гаусса формулы Крамера решение уравнений проверка результатов Новый

Для решения данной системы линейных уравнений методом Гаусса и с использованием формул Крамера, начнем с записи системы:

• x + 2y = -2
• 3x - y = 8

Теперь мы будем решать эту систему двумя способами.

Метод Гаусса:

Шаг 1: Записываем расширенную матрицу системы:

• [ 1 2 | -2 ]
• [ 3 -1 | 8 ]

Шаг 2: Приведем матрицу к ступенчатому виду. Для этого вычтем 3 раза первую строку из второй:

• 3 - 3*1 = 0
• -1 - 3*2 = -1 - 6 = -7
• 8 - 3*(-2) = 8 + 6 = 14

Получаем новую матрицу:

• [ 1 2 | -2 ]
• [ 0 -7 | 14 ]

Шаг 3: Теперь решим систему. Из второй строки получаем:

• -7y = 14
• y = 14 / -7 = -2

Шаг 4: Подставим значение y во первую строку:

• x + 2*(-2) = -2
• x - 4 = -2
• x = -2 + 4 = 2

Таким образом, решение системы методом Гаусса:

• x = 2
• y = -2

Метод Крамера:

Шаг 1: Находим определители. Сначала найдем определитель матрицы коэффициентов:

• D = | 1 2 |
• | 3 -1 |

Вычисляем D:

• D = (1 * -1) - (2 * 3) = -1 - 6 = -7

Шаг 2: Теперь найдем D1 и D2:

• D1 = | -2 2 |
• | 8 -1 |

Вычисляем D1:

• D1 = (-2 * -1) - (2 * 8) = 2 - 16 = -14

• D2 = | 1 -2 |
• | 3 8 |

Вычисляем D2:

• D2 = (1 * 8) - (-2 * 3) = 8 + 6 = 14

Шаг 3: Теперь находим x и y:

• x = D1 / D = -14 / -7 = 2
• y = D2 / D = 14 / -7 = -2

Таким образом, решение системы методом Крамера:

• x = 2
• y = -2

Проверка:

Подставим найденные значения x и y в исходные уравнения:

• 1) 2 + 2*(-2) = 2 - 4 = -2 (верно)
• 2) 3*2 - (-2) = 6 + 2 = 8 (верно)

Таким образом, мы получили одинаковые результаты и подтвердили их правильность. Ответ:

• x = 2
• y = -2