Давайте рассмотрим основные свойства функций \( y = \tan(x) \) и \( y = \cot(x) \). Эти функции являются тригонометрическими и имеют свои особенности, которые важно знать.

Свойства функции \( y = \tan(x) \):

1. Область определения: Функция определена для всех значений \( x \),кроме тех, где косинус равен нулю. Это происходит в точках \( x = \frac{\pi}{2}+ \pi k \),где \( k \) — целое число.
2. Периодичность: Функция является периодической с периодом \( \pi \). Это означает, что \( \tan(x + \pi) = \tan(x) \).
3. Четность/нечетность: Функция нечетная, то есть \( \tan(-x) = -\tan(x) \).
4. Промежутки монотонности: Функция строго возрастает на каждом из промежутков \( \left(-\frac{\pi}{2}+ \pi k, \frac{\pi}{2}+ \pi k\right) \).
5. График: График функции имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \frac{\pi}{2}+ \pi k \).
6. Значения: Функция может принимать все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Свойства функции \( y = \cot(x) \):

1. Область определения: Функция определена для всех значений \( x \),кроме тех, где синус равен нулю. Это происходит в точках \( x = \pi k \),где \( k \) — целое число.
2. Периодичность: Функция является периодической с периодом \( \pi \). Это означает, что \( \cot(x + \pi) = \cot(x) \).
3. Четность/нечетность: Функция нечетная, то есть \( \cot(-x) = -\cot(x) \).
4. Промежутки монотонности: Функция строго убывает на каждом из промежутков \( \left(0 + \pi k, \pi + \pi k\right) \).
5. График: График функции имеет вертикальные асимптоты в точках \( x = \pi k \).
6. Значения: Функция может принимать все значения от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Эти свойства помогают лучше понять поведение функций и их графиков, что важно для их использования в решении различных задач.