1) Докажите, что функция y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinxcos^4x.

2) Для функции y = 15/5x - 9 + 2/x² найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A (2; -7).

Математика 11 класс Первообразные и интегралы математика 11 класс первообразная функция доказательство y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 y = 4x^3 + sinxcos^4x y = 15/5x - 9 + 2/x² график точка A (2; -7) интегрирование анализ функции нахождение первообразной Новый

1) Для того чтобы доказать, что функция y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для функции y = 4x^3 + sinxcos^4x, нам нужно найти производную первой функции и проверить, совпадает ли она со второй функцией.

Начнем с нахождения производной:

1. Для функции y = x^4, производная равна 4x^3.
2. Теперь найдем производную второго слагаемого -1/5 cos^5x. Используем правило дифференцирования сложной функции:
• Сначала найдем производную cos^5x, которая равна -5cos^4x * sinx (по правилу произведения и цепному правилу).
3. Тогда производная -1/5 cos^5x будет равна -1/5 * (-5cos^4x * sinx) = cos^4x * sinx.
4. Итак, производная всей функции будет равна: y' = 4x^3 + cos^4x * sinx.

Теперь посмотрим на вторую функцию: y = 4x^3 + sinxcos^4x. Мы видим, что первый член (4x^3) совпадает с первым членом производной. Теперь сравним второй член:

• В производной у нас есть cos^4x * sinx, который совпадает со вторым членом второй функции, так как sinx * cos^4x = sinx * cos^4x.

Таким образом, мы доказали, что производная первой функции равна второй функции, и значит, y = x^4 - 1/5 cos^5x + 2 является первообразной для y = 4x^3 + sinxcos^4x.

2) Теперь перейдем ко второй задаче, где нам нужно найти первообразную для функции y = 15/(5x - 9) + 2/x², которая проходит через точку A (2; -7).

Мы начнем с интегрирования данной функции:

1. Разделим интеграл на два отдельных:
• ∫(15/(5x - 9))dx + ∫(2/x²)dx.
2. Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности:
• Первый интеграл: 15/5 = 3, и используя замену переменной, мы получаем 3ln|5x - 9|.
• Второй интеграл: ∫(2/x²)dx = -2/x.

Соберем все вместе: первообразная будет выглядеть так:

F(x) = 3ln|5x - 9| - 2/x + C, где C - это произвольная константа.

Теперь, чтобы найти значение C, мы подставим координаты точки A (2; -7):

1. F(2) = 3ln|5*2 - 9| - 2/2 + C = -7.
2. Таким образом, мы получаем: 3ln|1| - 1 + C = -7.
3. Поскольку ln(1) = 0, у нас остается -1 + C = -7.
4. Отсюда следует, что C = -6.

Таким образом, окончательная первообразная, которая проходит через точку A (2; -7), будет:

F(x) = 3ln|5x - 9| - 2/x - 6.