Чтобы доказать, что функция F является первообразной для функции f, нам нужно показать, что производная функции F равна функции f. Это означает, что мы должны вычислить производную F и сравнить её с f.

Давайте рассмотрим функцию F:

F(x) = x^5/5 + 2x + C

Теперь найдем производную F по переменной x:

• Первая часть: производная x^5/5. Используем правило дифференцирования степенной функции: d/dx (x^n) = n*x^(n-1).
• В данном случае n = 5, следовательно, производная будет: d/dx (x^5/5) = (5/5) * x^(5-1) = x^4.
• Вторая часть: производная 2x. Это также простая степенная функция, и её производная равна 2.
• Третья часть: производная константы C равна 0, так как производная любой константы равна нулю.

Теперь можем собрать все части вместе:

F'(x) = x^4 + 2.

Теперь сравним полученную производную F'(x) с функцией f:

f(x) = x^4 + 2.

Как видно, F'(x) = f(x). Это значит, что производная функции F равна функции f.

Таким образом, мы доказали, что функция F является первообразной для функции f, так как:

F'(x) = f(x).

Ответ: F является первообразной для f, поскольку производная F равна f.