Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x) на всей числовой прямой R =(-∞,∞):

1. F(x)=x²-sin2x+2018, f(x)=2x-2cos2x;
2. F(x)=-cos-x³ +28, f(x)=-sin-3x²;
3. F(x)=2x+cos²x+3x, f(x)=8x³-sin2x+3;
4. F(x)=3x+sin²x-7x, f(x)=15x+sin2x-7.

Математика 11 класс Первообразные и интегралы функция f(x) первообразная доказательство математический анализ числовая прямая интегрирование производная математика 11 класс задачи по математике Новый

Чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для функции f(x), нам нужно показать, что производная F'(x) равна f(x) для всех x из области определения. Давайте рассмотрим каждый пункт по отдельности.

1. F(x) = x² - sin(2x) + 2018
   Для нахождения производной F'(x) используем правила дифференцирования.
   • Производная x² равна 2x.
   • Производная -sin(2x) равна -2cos(2x) (по правилу цепочки).
   • Константа 2018 при дифференцировании исчезает.
   Таким образом: F'(x) = 2x - 2cos(2x).
   Следовательно, f(x) = 2x - 2cos(2x), что подтверждает, что F(x) является первообразной для f(x).
2. F(x) = -cos(x³) + 28
   Найдем производную F'(x):
   • Производная -cos(x³) равна sin(x³) * 3x² (по правилу цепочки).
   • Константа 28 при дифференцировании исчезает.
   Таким образом: F'(x) = sin(x³) * 3x².
   Однако, f(x) = -sin(3x²), что не совпадает с F'(x).
   Следовательно, F(x) не является первообразной для f(x).
3. F(x) = 2x + cos²(x) + 3x
   Найдем производную F'(x):
   • Производная 2x равна 2.
   • Производная cos²(x) равна -2cos(x)sin(x) (по правилу цепочки).
   • Производная 3x равна 3.
   Таким образом: F'(x) = 2 - 2cos(x)sin(x) + 3 = 5 - 2cos(x)sin(x).
   Однако, f(x) = 8x³ - sin(2x) + 3, что не совпадает с F'(x).
   Следовательно, F(x) не является первообразной для f(x).
4. F(x) = 3x + sin²(x) - 7x
   Найдем производную F'(x):
   • Производная 3x равна 3.
   • Производная sin²(x) равна 2sin(x)cos(x) (по правилу цепочки).
   • Производная -7x равна -7.
   Таким образом: F'(x) = 3 + 2sin(x)cos(x) - 7 = -4 + 2sin(x)cos(x).
   Однако, f(x) = 15x + sin(2x) - 7, что не совпадает с F'(x).
   Следовательно, F(x) не является первообразной для f(x).

В результате, только в первом пункте F(x) является первообразной для f(x). В остальных пунктах это не так.