Давайте разберем каждый из ваших вопросов по порядку.

1. Как можно выбрать 5 рабочих из 20 для разгрузки товаров в магазине?

Для решения этой задачи мы используем формулу сочетаний, так как порядок выбора рабочих не важен. Формула для сочетаний выглядит так:

C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!),

где n - общее количество элементов (в нашем случае 20 рабочих), k - количество выбираемых элементов (в нашем случае 5 рабочих).

Подставляем значения:

C(20, 5) = 20! / (5! * (20 - 5)!) = 20! / (5! * 15!).

После вычислений мы получаем, что количество способов выбрать 5 рабочих из 20 равно 15504.

2. Сколько существует способов случайного отбора газет для размещения рекламы, если у отдела рекламы есть средства только на 15 из 25 газет?

Здесь также используется формула сочетаний:

C(25, 15) = 25! / (15! * (25 - 15)!) = 25! / (15! * 10!).

Это будет равно 3268760. Таким образом, существует 3268760 способов выбрать 15 газет из 25.

3. Какое количество различных номеров машин можно составить, если номер состоит из трех букв и четырех цифр, а алфавит включает 32 буквы?

Для номера машины у нас есть 3 буквы и 4 цифры. Количество вариантов для букв: 32 * 32 * 32 (3 буквы). Для цифр, если у нас 10 цифр (0-9): 10 * 10 * 10 * 10 (4 цифры). Таким образом, общее количество номеров будет:

32^3 * 10^4 = 32768 * 10000 = 327680000.

4. Сколько способов рассадить 8 человек за круглым столом?

При размещении людей за круглым столом мы фиксируем одного человека, чтобы избежать учета симметрии. Таким образом, количество способов рассадить 8 человек будет равно (8 - 1)! = 7! = 5040.

5. Сколько вариантов должен попробовать служащий банка, чтобы открыть сейф, если он помнит только две цифры 5-значного кода, состоящего из различных цифр?

Если код состоит из 5 различных цифр и служащий помнит 2, то ему нужно выбрать 3 цифры из оставшихся 8 (так как всего 10 цифр). Количество способов выбрать 3 цифры из 8 равно C(8, 3). Затем эти 5 цифр можно переставить, что дает 5!. Таким образом, общее количество вариантов:

C(8, 3) * 5! = 56 * 120 = 6720.

6. Сколько существует всех возможных вариантов выбора 6 чисел из 49 в лотерее "Спортлото"?

Мы снова используем формулу сочетаний:

C(49, 6) = 49! / (6! * (49 - 6)!) = 49! / (6! * 43!).

Это равно 13983816. Таким образом, существует 13983816 различных вариантов выбора 6 чисел из 49.

7. Сколько различных способов расположить 5 книг на полке в случайном порядке?

Количество способов расположить 5 книг на полке – это факториал от 5, то есть 5!. Это равно 120. Таким образом, существует 120 различных способов расположить 5 книг на полке.