В деревне живут 94 человек в возрасте 1 , 2 , . . . , 94 лет (для каждого возраста - ровно один человек). Два человека могут образовать счастливую пару, если возраст каждого из них хотя бы на 9 лет больше половины возраста другого. Какое наибольшее количество (непересекающихся) счастливых пар можно составить из жителей селения?
Условие "возраст каждого из них хотя бы на 9 лет больше половины возраста другого" можно записать как систему неравенств:
* x ≥ y/2 + 9 * y ≥ x/2 + 9
где x и y - возрасты двух людей в паре.
2. Графический подход:
* Построим на координатной плоскости прямые, соответствующие этим неравенствам: y = 2x - 18 и x = 2y - 18. * Область, удовлетворяющая обоим неравенствам, будет лежать выше обеих прямых. * Отметим на осях точки, соответствующие возрастам жителей (от 1 до 94). * Пара (x, y) будет счастливой, если соответствующая ей точка лежит в найденной области.
3. Поиск счастливых пар:
* Видно, что точки, лежащие на прямой y = x + 18, удовлетворяют условию. * Это означает, что пары вида (x, x+18) будут счастливыми. * Начиная с x = 19 (так как x > 18) и до x = 76, мы можем составить 76 - 19 + 1 = 58 таких пар. * Однако, поскольку у нас всего 94 человека, последние 18 пар вида (x, x+18) невозможны, так как не хватит людей соответствующего возраста. * Следовательно, наибольшее количество счастливых пар будет 58 - 18 = 40.