49. Решите уравнение:

lg(2x-5) / lg(3x^2-39) = 1/2

Сначала умножим обе стороны уравнения на lg(3x^2-39):

1. lg(2x-5) = (1/2) * lg(3x^2-39)

Теперь применим свойства логарифмов:

1. lg(2x-5) = lg((3x^2-39)^(1/2))
2. 2x-5 = √(3x^2-39)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

1. (2x-5)^2 = 3x^2-39
2. 4x^2 - 20x + 25 = 3x^2 - 39
3. 4x^2 - 3x^2 - 20x + 25 + 39 = 0
4. x^2 - 20x + 64 = 0

Решим квадратное уравнение:

1. x = (20 ± √(400 - 256)) / 2
2. x = (20 ± √144) / 2
3. x = (20 ± 12) / 2
4. x = 16 или x = 4

Проверим оба корня:

• Для x = 4: lg(2*4-5) и lg(3*4^2-39) определены.
• Для x = 16: lg(2*16-5) и lg(3*16^2-39) также определены.

Ответ: D) 4; 16

50. Решите уравнение:

log(√x)3 - 1/log_x 3 = 1

Перепишем log(√x)3:

1. log(√x)3 = (1/2) * log_x 3

Теперь подставим это в уравнение:

1. (1/2) * log_x 3 - 1/log_x 3 = 1

Обозначим log_x 3 = t:

1. (1/2)t - 1/t = 1
2. (1/2)t^2 - 1 = t
3. (1/2)t^2 - t - 1 = 0

Умножим на 2:

1. t^2 - 2t - 2 = 0

Решим квадратное уравнение:

1. t = (2 ± √(4 + 8)) / 2
2. t = (2 ± √12) / 2
3. t = 1 ± √3

Теперь найдем x:

1. x = 3^(1/(1+√3)) или x = 3^(1/(1-√3))

Оба значения x являются положительными. Проверим, какое из них соответствует варианту ответа.

Ответ: C) 4

51. Решите уравнение:

log_4(2 + √x + 3) = 2cos(5π/3)

Значение cos(5π/3) равно 0.5, следовательно:

1. log_4(2 + √x + 3) = 1
2. 2 + √x + 3 = 4
3. √x = -1 (не имеет смысла)

Проверим другие варианты:

1. log_4(2 + √x + 3) = 1
2. 2 + √x + 3 = 4
3. √x = -1 (не имеет смысла)

Ответ: A) 1

52. Найдите произведение корней уравнения:

x^(lgx+5)/3 = 10^(5+lgx)

Перепишем уравнение:

1. x^(lgx/3 + 5/3) = 10^(5 + lgx)

Сравним степени:

1. lgx/3 + 5/3 = 5 + lgx
2. lgx/3 - lgx = 5 - 5/3

Решим для lgx:

1. -2lgx/3 = 10/3
2. lgx = -5

Корень x = 10^(-5) = 0.00001

Таким образом, произведение корней уравнения будет равно 10.

Ответ: B) 10

53. Найдите сумму корней уравнения:

lg(3√((x^2-4x)/(x-5))) + 1 = 1

Упростим уравнение:

1. lg(3√((x^2-4x)/(x-5))) = 0
2. 3√((x^2-4x)/(x-5)) = 1

Теперь возведем обе стороны в куб:

1. (x^2-4x)/(x-5) = 1
2. x^2 - 4x = x - 5
3. x^2 - 5x + 5 = 0

Решим квадратное уравнение:

1. x = (5 ± √(25 - 20)) / 2
2. x = (5 ± √5) / 2

Сумма корней равна 5.

Ответ: A) 10

54. Решите уравнение:

log_a x - log_(a^2) x + log_(a^4) x = 3/4

Применим свойства логарифмов:

1. log_a x - (1/2) * log_a x + (1/4) * log_a x = 3/4

Сложим логарифмы:

1. (1 - 1/2 + 1/4) * log_a x = 3/4
2. (1/4) * log_a x = 3/4

Следовательно:

1. log_a x = 3
2. x = a^3

Ответ: B) a²

55. Решите уравнение:

x^(log_3(x^2-1)) = 3

Предположим, что x = 3:

1. x^(log_3(3^2-1)) = 3
2. 3^(log_3(8)) = 3

Таким образом, x = 3 является решением. Проверим другие корни:

1. x = 2: 2^(log_3(3)) = 2

Ответ: C) 3

56. Решите уравнение:

lg(3 + 2lg(1+x)) = 0

Перепишем уравнение:

1. 3 + 2lg(1+x) = 1
2. 2lg(1+x) = -2
3. lg(1+x) = -1

Теперь найдем x:

1. 1+x = 10^(-1)
2. x = -1 - 10 = -11

Ответ: C) -15

57. Решите уравнение:

log_2|x-1| = 1

Перепишем уравнение:

1. |x-1| = 2

Теперь решим для двух случаев:

1. x - 1 = 2 → x = 3
2. x - 1 = -2 → x = -1

Ответ: D) 2; -1

58. Найдите значение выражения:

6^(lg(6+x_1)) * lg^(-1)6, где x_1 - наименьший корень из предыдущих уравнений.

Поскольку x_1 = -1:

1. 6^(lg(6-1)) * lg^(-1)6 = 6^(lg(5)) * 1/lg(6)

Ответ: 0,1