Как решить уравнение lg^2x - lgx - 2 = 0?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения уравнение lg^2x lgx решение логарифмы математика 11 класс квадратное уравнение методы решения алгебра Новый

Чтобы решить уравнение lg^2x - lgx - 2 = 0, мы можем воспользоваться методом замены переменной. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Замена переменной: Пусть t = lgx. Тогда уравнение преобразуется в квадратное уравнение относительно t: t^2 - t - 2 = 0.
2. Решение квадратного уравнения: Теперь решим квадратное уравнение t^2 - t - 2 = 0 с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -1, c = -2.
• Вычислим дискриминант: D = (-1)^2 - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9.
• Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.
3. Найдем корни уравнения: Формула для нахождения корней квадратного уравнения: t = (-b ± √D) / 2a.
• Первый корень: t₁ = (1 + 3) / 2 = 4 / 2 = 2.
• Второй корень: t₂ = (1 - 3) / 2 = -2 / 2 = -1.
4. Вернемся к переменной x: Теперь, когда мы нашли значения t, вернемся к переменной x, используя замену t = lgx.
• Для t₁ = 2: lgx = 2, что означает x = 10^2 = 100.
• Для t₂ = -1: lgx = -1, что означает x = 10^(-1) = 0.1.
5. Проверка решений: Убедимся, что найденные значения x удовлетворяют исходному уравнению.
• Подставим x = 100 в исходное уравнение: lg^2(100) - lg(100) - 2 = 2^2 - 2 - 2 = 0. Решение верное.
• Подставим x = 0.1 в исходное уравнение: lg^2(0.1) - lg(0.1) - 2 = (-1)^2 + 1 - 2 = 0. Решение верное.

Таким образом, уравнение lg^2x - lgx - 2 = 0 имеет два решения: x = 100 и x = 0.1.