Помогите решить срочно:

Как решить уравнение: log4(x + 2) + log4(10 - x) = 1 + log4(X^2)?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения Логарифмическое уравнение решение уравнения математика 11 класс log4 algebra x учебник математики Новый

Для решения уравнения log4(x + 2) + log4(10 - x) = 1 + log4(x^2) мы будем использовать свойства логарифмов.

Шаг 1: Объединим логарифмы с левой стороны уравнения. Используем свойство, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

• log4((x + 2)(10 - x)) = 1 + log4(x^2)

Шаг 2: Переносим логарифм с правой стороны в левую:

• log4((x + 2)(10 - x)) - log4(x^2) = 1

Шаг 3: Используем свойство, что разность логарифмов равна логарифму частного:

• log4(((x + 2)(10 - x)) / x^2) = 1

Шаг 4: Переходим от логарифма к показательной форме. Если log4(A) = B, то A = 4^B. В нашем случае:

• ((x + 2)(10 - x)) / x^2 = 4^1
• ((x + 2)(10 - x)) / x^2 = 4

Шаг 5: Умножим обе стороны на x^2:

• (x + 2)(10 - x) = 4x^2

Шаг 6: Раскроем скобки:

• 10x + 20 - x^2 - 2x = 4x^2

Шаг 7: Приведем все члены к одной стороне уравнения:

• 10x + 20 - x^2 - 2x - 4x^2 = 0
• -5x^2 + 8x + 20 = 0

Шаг 8: Умножим уравнение на -1 для удобства:

• 5x^2 - 8x - 20 = 0

Шаг 9: Теперь используем дискриминант для решения квадратного уравнения:

• D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 5 * (-20)
• D = 64 + 400 = 464

Шаг 10: Находим корни уравнения по формуле:

• x = (-b ± √D) / (2a) = (8 ± √464) / 10

Шаг 11: Упрощаем корни:

• √464 = 2√116 = 4√29
• x1 = (8 + 4√29) / 10
• x2 = (8 - 4√29) / 10

Шаг 12: Проверяем, подходят ли найденные корни под условия логарифмов (x + 2 > 0 и 10 - x > 0):

• x + 2 > 0 → x > -2
• 10 - x > 0 → x < 10

Таким образом, необходимо проверить, удовлетворяют ли корни этим условиям:

• x1 = (8 + 4√29) / 10 – вероятно, подходит, так как √29 > 5.
• x2 = (8 - 4√29) / 10 – скорее всего, не подходит, так как может быть меньше -2.

В итоге, мы находим, что единственным подходящим корнем является x1 = (8 + 4√29) / 10.

Ответ: x = (8 + 4√29) / 10.