Как решить уравнение: (Log4 x)^2 - 2log4 x - 3 = 0?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 11 класс Log4 x квадратное уравнение алгебра математические уравнения Новый

Для решения уравнения (Log4 x)^2 - 2log4 x - 3 = 0, начнем с того, что сделаем замену переменной. Обозначим:

• y = log4 x

Теперь уравнение примет следующий вид:

• y^2 - 2y - 3 = 0

Это квадратное уравнение, которое мы можем решить с помощью формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

• x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -2
• c = -3

Теперь подставим значения a, b и c в формулу:

• D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 * 1 * (-3) = 4 + 12 = 16

Так как дискриминант D положителен, у уравнения есть два различных корня:

• y1 = (2 + √16) / 2 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• y2 = (2 - √16) / 2 = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Теперь у нас есть два значения y:

• y1 = 3
• y2 = -1

Теперь вспомним, что мы сделали замену y = log4 x. Теперь вернемся к переменной x:

• log4 x = 3
• log4 x = -1

Решим каждое из этих уравнений:

1. Для уравнения log4 x = 3:
   • Переписываем в экспоненциальной форме: x = 4^3 = 64
2. Для уравнения log4 x = -1:
   • Переписываем в экспоненциальной форме: x = 4^(-1) = 1/4

Таким образом, у нас есть два решения уравнения:

• x = 64
• x = 1/4

Ответ: x = 64 и x = 1/4.