Как решить уравнение log4(x²-15x)=2?

Математика 11 класс Логарифмические уравнения решение уравнения логарифмы математика 11 класс log4 x²-15x уравнение с логарифмом Новый

Чтобы решить уравнение log4(x²-15x)=2, следуем следующим шагам:

1. Преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное: Уравнение log4(A) = B можно переписать как A = 4^B. В нашем случае это означает:
• A = x² - 15x
• B = 2

Таким образом, мы можем записать:

x² - 15x = 4²

Что упрощается до:

x² - 15x = 16
2. Переносим все члены уравнения в одну сторону:
x² - 15x - 16 = 0
3. Решаем квадратное уравнение: Мы можем использовать формулу корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае:

• a = 1
• b = -15
• c = -16

Сначала находим дискриминант:

D = b² - 4ac = (-15)² - 4 * 1 * (-16) = 225 + 64 = 289
4. Находим корни:
x = (15 ± √289) / 2

Теперь вычислим корни:

• √289 = 17
• Первый корень: x1 = (15 + 17) / 2 = 32 / 2 = 16
• Второй корень: x2 = (15 - 17) / 2 = -2 / 2 = -1
5. Проверяем корни на допустимость: Поскольку мы работали с логарифмом, необходимо проверить, чтобы аргумент логарифма был положительным:
• Для x1 = 16: x² - 15x = 16² - 15*16 = 256 - 240 = 16 (положительное)
• Для x2 = -1: x² - 15x = (-1)² - 15*(-1) = 1 + 15 = 16 (положительное)

Оба корня допустимы.

Ответ: x1 = 16 и x2 = -1.