Дано комплексное число z. Требуется:

1. Записать число z в алгебраической и тригонометрической формах;
2. Выразить число z=1-i в тригонометрической форме;
3. Найти z^3, ответ записать в тригонометрической и алгебраической формах. z =(2корня из 2)/1+i

Математика 11 класс Комплексные числа комплексное число алгебраическая форма тригонометрическая форма z=1-i z^3 математика 11 класс преобразование комплексных чисел вычисление степени комплексного числа Новый

Давайте разберем задачу по шагам.

Шаг 1: Запись числа z в алгебраической форме.

Дано z = (2√2)/(1 + i). Сначала упростим это выражение.

• Умножим числитель и знаменатель на сопряженное число знаменателя (1 - i):
• z = (2√2)(1 - i) / ((1 + i)(1 - i))
• В знаменателе получаем: 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2.
• Теперь числитель: (2√2)(1 - i) = 2√2 - 2√2i.
• Таким образом, z = (2√2 - 2√2i) / 2 = √2 - √2i.

Итак, в алгебраической форме z = √2 - √2i.

Шаг 2: Запись числа z в тригонометрической форме.

Для того чтобы записать z в тригонометрической форме, найдем модуль и аргумент.

• Модуль: |z| = √(Re(z)^2 + Im(z)^2) = √((√2)^2 + (-√2)^2) = √(2 + 2) = √4 = 2.
• Аргумент: arg(z) = arctan(Im(z)/Re(z)) = arctan((-√2)/(√2)) = arctan(-1) = -π/4.

Тригонометрическая форма: z = |z|(cos(arg(z)) + i*sin(arg(z))) = 2(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)).

Шаг 3: Выразить число z = 1 - i в тригонометрической форме.

Сначала найдем модуль и аргумент для z = 1 - i.

• Модуль: |z| = √(1^2 + (-1)^2) = √(1 + 1) = √2.
• Аргумент: arg(z) = arctan((-1)/1) = arctan(-1) = -π/4.

Таким образом, тригонометрическая форма: z = √2(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)).

Шаг 4: Найти z^3 и записать в тригонометрической и алгебраической формах.

Используем тригонометрическую форму z = 2(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)).

• z^3 = 2^3(cos(3*(-π/4)) + i*sin(3*(-π/4))).
• z^3 = 8(cos(-3π/4) + i*sin(-3π/4)).

Теперь найдем значения косинуса и синуса:

• cos(-3π/4) = -√2/2, sin(-3π/4) = -√2/2.

Таким образом, z^3 = 8(-√2/2 + i*(-√2/2)) = -4√2 - 4√2i.

В алгебраической форме z^3 = -4√2 - 4√2i.

Итак, подведем итоги:

• Алгебраическая форма z: √2 - √2i.
• Тригонометрическая форма z: 2(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)).
• Тригонометрическая форма z = 1 - i: √2(cos(-π/4) + i*sin(-π/4)).
• z^3 в тригонометрической форме: 8(cos(-3π/4) + i*sin(-3π/4)).
• z^3 в алгебраической форме: -4√2 - 4√2i.