Похожие вопросы
2024-11-13 20:06:23
Докажите, что:
lim tg x/x = 1 при x, стремящемся к 0
Математика 11 класс Пределы функции лимит tg x x стремится к 0 доказательство математика 11 класс предел функции тригонометрические функции анализ пределов теорема о пределе
2024-11-13 20:06:23
Давайте разберем, как мы можем доказать, что lim tg x/x = 1 при x, стремящемся к 0.
Для начала вспомним, что тангенс - это отношение синуса к косинусу, то есть:
- tg x = sin x / cos x
Таким образом, мы можем переписать наш предел:
- lim (tg x / x) = lim (sin x / (x * cos x))
Теперь мы можем использовать свойства пределов. Мы разделим наш предел на два отдельных предела:
- lim (sin x / x) * lim (1 / cos x)
Теперь давайте разберем каждый из этих пределов отдельно:
- Известно, что lim (sin x / x) при x стремящемся к 0 равен 1. Этот результат можно установить, используя правило Лопиталя или с помощью разложения в ряд Тейлора.
- Что касается lim (1 / cos x), то при x, стремящемся к 0, cos x стремится к 1. Соответственно, lim (1 / cos x) при x стремящемся к 0 будет равен 1.
Теперь мы можем подставить эти результаты обратно в наш предел:
- lim (tg x / x) = lim (sin x / x) * lim (1 / cos x) = 1 * 1 = 1
Таким образом, мы пришли к выводу, что:
lim tg x / x = 1 при x, стремящемся к 0.