Докажите, что:

lim tg x/x = 1 при x, стремящемся к 0

Математика 11 класс Пределы функции лимит tg x x стремится к 0 доказательство математика 11 класс предел функции тригонометрические функции анализ пределов теорема о пределе Новый

Давайте разберем, как мы можем доказать, что lim tg x/x = 1 при x, стремящемся к 0.

Для начала вспомним, что тангенс - это отношение синуса к косинусу, то есть:

• tg x = sin x / cos x

Таким образом, мы можем переписать наш предел:

• lim (tg x / x) = lim (sin x / (x * cos x))

Теперь мы можем использовать свойства пределов. Мы разделим наш предел на два отдельных предела:

• lim (sin x / x) * lim (1 / cos x)

Теперь давайте разберем каждый из этих пределов отдельно:

1. Известно, что lim (sin x / x) при x стремящемся к 0 равен 1. Этот результат можно установить, используя правило Лопиталя или с помощью разложения в ряд Тейлора.
2. Что касается lim (1 / cos x), то при x, стремящемся к 0, cos x стремится к 1. Соответственно, lim (1 / cos x) при x стремящемся к 0 будет равен 1.

Теперь мы можем подставить эти результаты обратно в наш предел:

• lim (tg x / x) = lim (sin x / x) * lim (1 / cos x) = 1 * 1 = 1

Таким образом, мы пришли к выводу, что:

lim tg x / x = 1 при x, стремящемся к 0.