Как вычислить предел

lim x->0 (cos5x - 1/1-e^x^2)?

Математика 11 класс Пределы функции предел вычислить предел лимит cos5x e^x^2 математика предел при x стремящемся к 0 математический анализ Новый

Привет! Давай разберем, как вычислить этот предел. У нас есть выражение:

lim x->0 (cos(5x) - 1) / (1 - e^(x^2)).

Первым делом, давай подставим x = 0 в это выражение:

• В числителе: cos(5*0) - 1 = cos(0) - 1 = 1 - 1 = 0.
• В знаменателе: 1 - e^(0^2) = 1 - e^0 = 1 - 1 = 0.

Получается неопределенность 0/0. Это значит, что нам нужно использовать правило Лопиталя, которое гласит, что если мы имеем 0/0 или ∞/∞, мы можем взять производные числителя и знаменателя.

Давай найдем производные:

1. Числитель: производная от (cos(5x) - 1) будет -5sin(5x).
2. Знаменатель: производная от (1 - e^(x^2)) будет -2xe^(x^2).

Теперь подставим x = 0 в производные:

• В числителе: -5sin(5*0) = -5sin(0) = 0.
• В знаменателе: -2*0*e^(0^2) = 0.

Снова получили неопределенность 0/0. Применим правило Лопиталя еще раз:

1. Числитель: производная от -5sin(5x) будет -25cos(5x).
2. Знаменатель: производная от -2xe^(x^2) будет -2(e^(x^2) + 2x^2e^(x^2)).

Теперь подставим x = 0 в новые производные:

• В числителе: -25cos(5*0) = -25cos(0) = -25.
• В знаменателе: -2(e^(0) + 2*0^2*e^(0)) = -2(1 + 0) = -2.

Теперь у нас есть:

lim x->0 = -25 / -2 = 25 / 2.

В итоге, предел равен 25/2. Надеюсь, это помогло! Если что-то непонятно, спрашивай!