Для доказательства данного равенства необходимо воспользоваться тригонометрическими формулами и преобразованиями. Давайте выполним шаги последовательно:

1. Вспомним формулы:
   • Формула двойного угла для косинуса: cos 2a = 2cos²a - 1.
   • Основное тригонометрическое тождество: sin²a + cos²a = 1.
   • Формула для котангенса: ctg a = cos a / sin a.
2. Преобразуем левую часть равенства:

   Наша задача - выразить левую часть через тангенс или котангенс. Для этого заменим cos 2a:

   (1 + cos 2a) / (1 - cos 2a) = (1 + (2cos²a - 1)) / (1 - (2cos²a - 1)).

   Упростим выражения в числителе и знаменателе:

   • Числитель: 1 + 2cos²a - 1 = 2cos²a.
   • Знаменатель: 1 - 2cos²a + 1 = 2 - 2cos²a.

   Получаем: (2cos²a) / (2 - 2cos²a).

3. Упростим знаменатель:

   В знаменателе можно вынести 2 за скобки и использовать основное тригонометрическое тождество:

   2 - 2cos²a = 2(1 - cos²a) = 2sin²a.

4. Получаем промежуточное выражение:

   (2cos²a) / (2sin²a) = (cos²a) / (sin²a).

5. Выразим через котангенс:

   Теперь мы видим, что (cos²a) / (sin²a) = (cos a / sin a)² = ctg² a.

Таким образом, мы доказали, что (1 + cos 2a) / (1 - cos 2a) = ctg² a. Это завершает доказательство равенства.