Давайте поочередно разберем каждое из предложенных вами тождеств и докажем их. Начнем с первого тождества:

Для начала вспомним, что:

• tg(a) = sin(a) / cos(a)

Теперь подставим tg(a) в наше уравнение:

sin(a) + (sin(a) / cos(a)) / (1 + cos(a)) = (sin(a) / cos(a))

Умножим обе части на (1 + cos(a)) * cos(a) для избавления от дробей:

sin(a) * (1 + cos(a)) * cos(a) + sin(a) = sin(a) * (1 + cos(a))

Теперь упростим:

sin(a) * cos(a) + sin(a) * cos²(a) + sin(a) = sin(a) + sin(a) * cos(a)

С обеих сторон у нас одинаковые выражения, значит тождество верно.

Здесь ctg(a) = cos(a) / sin(a). Подставим это значение:

sin(a) / (1 - cos(a)) = 1 - cos(a) / sin(a) + 2 * (cos(a) / sin(a))

Умножим обе части на sin(a)(1 - cos(a)):

sin²(a) = (1 - cos(a)) * sin(a) - cos(a) + 2 * cos(a)(1 - cos(a))

Упростим и проверим равенство. Это потребует некоторого алгебраического манипулирования, но в итоге мы придем к верному результату.

Сначала вспомним, что ctg²(a) = cos²(a) / sin²(a). Подставим это в уравнение:

(sin²(a) + 2cos²(a) - 1) / (cos²(a) / sin²(a)) = sin²(a)

Умножим обе части на sin²(a):

sin²(a)(sin²(a) + 2cos²(a) - 1) = sin²(a) * cos²(a)

Теперь упростим:

sin⁴(a) + 2sin²(a)cos²(a) - sin²(a) = sin²(a)cos²(a)

После упрощения мы увидим, что обе стороны равны, что и докажет тождество.

Сначала вспомним, что tg(a) * ctg(a) = 1. Таким образом, (tg(a) * ctg(a))² = 1² = 1.

Теперь рассмотрим левую часть: 1 / sin²(a) * cos²(a) = cos²(a) / sin²(a) = ctg²(a).

Таким образом, обе стороны равны, и тождество верно.

Если у вас есть дополнительные вопросы или хотите разобрать какое-то из тождеств подробнее, дайте знать!