Если 1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2, где p, r, q - натуральные числа, как можно найти максимальное значение 1/p^2?

Математика 11 класс Уравнения с дробями максимальное значение 1/p^2 уравнение 1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2 натуральные числа p q r решение уравнения математика 11 класс Новый

Чтобы найти максимальное значение 1/p^2, давайте сначала преобразуем данное уравнение:

1. Исходное уравнение:

1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2

2. Преобразуем уравнение:

Сначала выразим 1/p^2 через 1/q^2 и 1/r^2:

1/p^2 = 1/q^2 + 1/r^2

Теперь давайте найдем общий знаменатель для правой части уравнения:

1/p^2 = (r^2 + q^2) / (q^2 * r^2)

3. Перепишем уравнение:

1/p^2 = (r^2 + q^2) / (q^2 * r^2)

4. Умножим обе стороны на p^2 * q^2 * r^2:

q^2 * r^2 = p^2 * (r^2 + q^2)

5. Перепишем это уравнение:

p^2 = (q^2 * r^2) / (r^2 + q^2)

6. Найдем 1/p^2:

1/p^2 = (r^2 + q^2) / (q^2 * r^2)

7. Чтобы максимизировать 1/p^2, необходимо минимизировать q^2 * r^2:

Поскольку p, q и r - натуральные числа, минимальные значения для q и r равны 1. Таким образом, подставим q = 1 и r = 1:

1/p^2 = (1^2 + 1^2) / (1^2 * 1^2) = 2 / 1 = 2.

8. Теперь найдем p:

1/p^2 = 2, следовательно, p^2 = 1/2, что не является натуральным числом.

Следовательно, давайте проверить другие пары (q, r):

• Если q = 1 и r = 2:

1/p^2 = (1^2 + 2^2) / (1^2 * 2^2) = (1 + 4) / (1 * 4) = 5 / 4.

• Если q = 2 и r = 2:

1/p^2 = (2^2 + 2^2) / (2^2 * 2^2) = (4 + 4) / (4) = 8 / 16 = 1/2.

• Если q = 2 и r = 3:

1/p^2 = (2^2 + 3^2) / (2^2 * 3^2) = (4 + 9) / (4 * 9) = 13 / 36.

Из всех рассмотренных случаев максимальное значение 1/p^2 равно 5/4, а p будет равно sqrt(4/5), что также не является натуральным числом.

9. Итог:

Таким образом, максимальное значение 1/p^2 в натуральных числах можно получить, подбирая различные натуральные числа q и r и находя соответствующее p. Однако, в общем случае, максимальное значение 1/p^2 будет стремиться к 2, но не достигнет его, так как p также должно оставаться натуральным числом.