Интегрируйте (2x ^ 3 + 3sqrt(x) - 5 * root(x, 4)) dx

Математика 11 класс Неопределённый интеграл интегрирование математика 11 класс интеграл 2x^3 3sqrt(x) 5 * root(x 4) вычисление интеграла Новый

Для интегрирования выражения (2x ^ 3 + 3sqrt(x) - 5 * root(x, 4)) dx, нам нужно сначала привести его к более удобному виду, чтобы мы могли применить правила интегрирования. Давайте разберем каждую часть выражения по отдельности.

• Первый член: 2x ^ 3

Этот член легко интегрируется. Мы используем правило интегрирования для степенной функции:

∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C, где n ≠ -1.

В нашем случае n = 3, поэтому:

∫2x^3 dx = 2 * (x^(3+1))/(3+1) = 2 * (x^4)/4 = (1/2)x^4.

• Второй член: 3sqrt(x)

Здесь sqrt(x) можно записать как x^(1/2). Используем то же правило интегрирования:

∫3sqrt(x) dx = ∫3x^(1/2) dx = 3 * (x^(1/2 + 1))/(1/2 + 1) = 3 * (x^(3/2))/(3/2) = 2x^(3/2).

• Третий член: -5 * root(x, 4)

Здесь root(x, 4) можно записать как x^(1/4). И снова применяем правило интегрирования:

∫-5 * root(x, 4) dx = ∫-5 * x^(1/4) dx = -5 * (x^(1/4 + 1))/(1/4 + 1) = -5 * (x^(5/4))/(5/4) = -4x^(5/4).

Теперь, когда мы интегрировали каждый член, мы можем объединить результаты:

• Первый член: (1/2)x^4
• Второй член: 2x^(3/2)
• Третий член: -4x^(5/4)

Таким образом, полное интегральное выражение будет выглядеть так:

∫(2x ^ 3 + 3sqrt(x) - 5 * root(x, 4)) dx = (1/2)x^4 + 2x^(3/2) - 4x^(5/4) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ: (1/2)x^4 + 2x^(3/2) - 4x^(5/4) + C