Вопрос: Найдите какую-нибудь первообразную для функции y = 1/x^2 - 2cos(x), значение которой в точке x = π/2 является положительным числом.

Математика 11 класс Неопределённый интеграл математика 11 класс первообразная функция y = 1/x^2 - 2cos(x) значение x = π/2 положительное число интеграл нахождение первообразной тригонометрические функции алгебраические функции Новый

Рассмотрим функцию y = 1/x² - 2cos(x). Нам нужно найти ее первообразную, значение которой в точке x = π/2 является положительным числом.

Первоначально, давайте найдем первообразную этой функции. Мы можем разложить функцию на две части и найти первообразную каждой из них по отдельности:

• Первая часть: 1/x²;
• Вторая часть: -2cos(x).

Начнем с первой части. Первообразная для функции 1/x² равна -1/x. Это можно объяснить тем, что производная -1/x дает нам 1/x².

Теперь перейдем ко второй части, -2cos(x). Первообразная для функции cos(x) равна sin(x), поэтому первообразная -2cos(x) будет равна -2sin(x).

Теперь, собрав обе части вместе, мы получаем:

Y = -1/x - 2sin(x) + C, где C – произвольная константа.

Теперь нам нужно определить значение C так, чтобы Y(π/2) было положительным. Подставим x = π/2 в найденную первообразную:

Y(π/2) = -1/(π/2) - 2sin(π/2) + C.

Значение sin(π/2) равно 1, поэтому:

Y(π/2) = -2/π - 2 + C.

Теперь, чтобы Y(π/2) было положительным, мы должны решить неравенство:

-2/π - 2 + C > 0.

Переносим все слагаемые в одну сторону:

C > 2 + 2/π.

Таким образом, чтобы значение первообразной Y в точке x = π/2 было положительным, константа C должна быть больше, чем 2 + 2/π.

На этом этапе мы нашли первообразную и определили условия для константы C. Это важный шаг, чтобы убедиться, что мы можем найти такие значения C, которые удовлетворяют необходимым условиям.