Похожие вопросы
2025-12-05 07:13:33
Как можно доказать, что функция f(x) = sin²(2x) + 0,5 cos(4x) + 2 sin²(x) + cos(2x) принимает одно и то же постоянное значение для любого x, и какое это значение?
Математика 11 класс Тригонометрические функции и их свойства доказательство функции функция постоянное значение sin²(2x) cos(4x) sin²(x) cos(2X) математика 11 класс
2025-12-05 07:13:51
Чтобы доказать, что функция f(x) = sin²(2x) + 0,5 cos(4x) + 2 sin²(x) + cos(2x) принимает одно и то же постоянное значение для любого x, начнем с упрощения этой функции.
1. **Используем тригонометрические тождества**. Для начала, вспомним, что:
- sin²(θ) = (1 - cos(2θ)) / 2
- cos(2θ) = 2cos²(θ) - 1
- cos(4x) = 2cos²(2x) - 1
2. **Перепишем функцию**. Подставим эти тождества в нашу функцию:
- sin²(2x) = (1 - cos(4x)) / 2
- 2 sin²(x) = 2(1 - cos(2x)) / 2 = 1 - cos(2x)
Теперь подставим это в f(x):
- f(x) = (1 - cos(4x)) / 2 + 0,5 cos(4x) + (1 - cos(2x)) + cos(2x)
- f(x) = (1 - cos(4x)) / 2 + 0,5 cos(4x) + 1 - cos(2x) + cos(2x)
- f(x) = (1 - cos(4x)) / 2 + 0,5 cos(4x) + 1
3. **Соберем подобные слагаемые**. Объединим части с cos(4x):
- f(x) = 1 + (1 - cos(4x)) / 2 + 0,5 cos(4x)
- f(x) = 1 + 0,5 - 0,5 cos(4x) + 0,5 cos(4x)
- f(x) = 1 + 0,5 = 1,5
4. **Заключение**. Мы видим, что все переменные cos(4x) сократились, и в итоге мы получили постоянное значение:
f(x) = 1,5
Таким образом, функция f(x) = sin²(2x) + 0,5 cos(4x) + 2 sin²(x) + cos(2x) действительно принимает одно и то же постоянное значение 1,5 для любого x.