Чтобы доказать тождество 1 + tg a / 1 + ctg a = tg a, давайте начнем с левой части и преобразуем её, используя известные тригонометрические соотношения.

Напомним, что:

• tg a = sin a / cos a
• ctg a = cos a / sin a

Теперь подставим tg a и ctg a в наше выражение:

Левая часть тождества:

1 + tg a = 1 + sin a / cos a

1 + ctg a = 1 + cos a / sin a

Теперь подставим эти выражения в левую часть тождества:

(1 + sin a / cos a) / (1 + cos a / sin a)

Теперь упростим это выражение. Приведем дроби к общему знаменателю:

Для числителя:

1 + sin a / cos a = (cos a + sin a) / cos a

Для знаменателя:

1 + cos a / sin a = (sin a + cos a) / sin a

Теперь подставим полученные выражения в дробь:

((cos a + sin a) / cos a) / ((sin a + cos a) / sin a)

Теперь мы можем упростить дробь, умножив на обратную:

(cos a + sin a) / cos a * sin a / (sin a + cos a)

Обратите внимание, что (cos a + sin a) и (sin a + cos a) равны, поэтому они сокращаются:

Остается:

sin a / cos a = tg a

Таким образом, мы пришли к правой части тождества:

tg a = tg a

Следовательно, тождество 1 + tg a / 1 + ctg a = tg a доказано.