Как можно доказать следующее тождество: sin^2t + cos^2t / tg^2t * cos^2t - cos^2t / 1 - cos^2t = 1?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества доказательство тождества математика 11 класс тригонометрические функции sin cos tg тождества тригонометрии решение тождества математические доказательства Новый

Чтобы доказать тождество sin^2t + cos^2t / tg^2t * cos^2t - cos^2t / 1 - cos^2t = 1, начнем с преобразования левой части.

Сначала вспомним основные тригонометрические соотношения:

• sin^2t + cos^2t = 1
• tg^2t = sin^2t / cos^2t

Теперь перепишем левую часть тождества:

1. Начнем с первой части: sin^2t + cos^2t. По основному тригонометрическому тождеству это равно 1.

2. Теперь рассмотрим вторую часть: tg^2t * cos^2t - cos^2t. Подставим значение tg^2t:

• tg^2t * cos^2t = (sin^2t / cos^2t) * cos^2t = sin^2t
• Таким образом, tg^2t * cos^2t - cos^2t = sin^2t - cos^2t.

3. Теперь подставим это в левую часть тождества:

1 / (sin^2t - cos^2t) / (1 - cos^2t)

4. Разберем знаменатель 1 - cos^2t. По основному тождеству 1 - cos^2t = sin^2t.

5. Теперь мы можем переписать выражение:

sin^2t / (sin^2t - cos^2t) / sin^2t

6. Упростим это выражение:

• Мы видим, что sin^2t сокращается:
• Остается 1 / (1 - cos^2t).

7. Снова вспомним, что 1 - cos^2t = sin^2t, и подставим это:

1 / sin^2t.

8. Таким образом, левая часть тождества равна 1.

В итоге, мы доказали, что sin^2t + cos^2t / tg^2t * cos^2t - cos^2t / 1 - cos^2t = 1 является верным тождеством.