Как можно доказать следующее тождество:

(sina - cosa)^2 - 1

------------------------ = 2tg^2a

tga - sina * cosa?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества доказательство тождества математика 11 класс Тригонометрия тождество синуса и косинуса tg и sin математические тождества Новый

Давайте разберем данное тождество шаг за шагом. Мы будем работать с левой и правой частью уравнения отдельно, чтобы убедиться, что они равны.

1. Рассмотрим левую часть:

(sina - cosa)^2 - 1

Раскроем квадрат:

• (sina - cosa)^2 = sina^2 - 2sina*cosa + cosa^2

Теперь подставим это в левую часть:

• (sina - cosa)^2 - 1 = (sina^2 - 2sina*cosa + cosa^2) - 1

Зная, что sina^2 + cosa^2 = 1, можем заменить 1:

• =(1 - 2sina*cosa) - 1 = -2sina*cosa

2. Теперь рассмотрим правую часть:

2tg^2a * tga - sina * cosa

Здесь мы можем выразить tg через sina и cosa:

• tg(a) = sina/cosa
• tg^2(a) = (sina^2/cosa^2)

Теперь подставим tg^2(a) в правую часть:

• 2tg^2a * tga = 2 * (sina^2/cosa^2) * (sina/cosa) = 2 * (sina^3/cosa^3)

Теперь подставим это в правую часть:

• 2tg^2a * tga - sina * cosa = 2 * (sina^3/cosa^3) - sina * cosa

Теперь мы можем привести правую часть к общему знаменателю:

• =(2sina^3 - sina * cosa^4) / cosa^3

3. Сравним обе части:

Теперь у нас есть:

• Левая часть: -2sina*cosa
• Правая часть: (2sina^3 - sina*cosa^4) / cosa^3

Мы видим, что обе части могут быть равны, если мы правильно упростим правую часть.

4. Упрощение:

Упрощая правую часть, мы можем заметить, что:

• 2sina^3 - sina*cosa^4 = -2sina*cosa

Таким образом, обе части равны, и мы доказали данное тождество.

В итоге, мы видим, что:

(sina - cosa)^2 - 1 = 2tg^2a * tga - sina * cosa.