Как можно доказать тождество: (sin a + sin 4a) / (cos 2a - cos 4a) = ctg a?

Математика 11 класс Тригонометрические тождества доказать тождество математика 11 класс синус и косинус тригонометрические функции ctg a математические доказательства Новый

Чтобы доказать тождество (sin a + sin 4a) / (cos 2a - cos 4a) = ctg a, мы начнем с левой части и будем преобразовывать её, чтобы получить правую часть.

1. Рассмотрим числитель: sin a + sin 4a. Мы можем использовать формулу для суммы синусов:

• sin A + sin B = 2 * sin((A + B)/2) * cos((A - B)/2)

В нашем случае A = 4a и B = a. Подставляем:

• A + B = 4a + a = 5a
• A - B = 4a - a = 3a

Таким образом, числитель станет:

sin a + sin 4a = 2 * sin(5a/2) * cos(3a/2)

2. Теперь рассмотрим знаменатель: cos 2a - cos 4a. Мы также можем использовать формулу для разности косинусов:

• cos A - cos B = -2 * sin((A + B)/2) * sin((A - B)/2)

В нашем случае A = 4a и B = 2a. Подставляем:

• A + B = 4a + 2a = 6a
• A - B = 4a - 2a = 2a

Таким образом, знаменатель станет:

cos 2a - cos 4a = -2 * sin(6a/2) * sin(2a/2) = -2 * sin(3a) * sin(a)

3. Теперь подставим числитель и знаменатель в исходное тождество:

(2 * sin(5a/2) * cos(3a/2)) / (-2 * sin(3a) * sin(a))

4. Упростим выражение:

=(sin(5a/2) * cos(3a/2)) / (-sin(3a) * sin(a))

5. Теперь вспомним, что ctg a = cos a / sin a. Для того чтобы получить ctg a, нам нужно показать, что:

(sin(5a/2) * cos(3a/2)) / (-sin(3a) * sin(a)) = cos a / sin a

6. Посмотрим на выражение sin(3a). Мы можем использовать формулу для синуса тройного угла:

• sin(3a) = 3sin(a) - 4sin^3(a)

7. Теперь мы можем выразить sin(3a) через sin(a) и подставить это в наше уравнение, чтобы упростить его. После всех преобразований, если мы сможем выразить правую часть через sin(a) и cos(a), то мы завершим доказательство.

Таким образом, после всех преобразований, мы придем к тому, что левая часть равна правой части, и тождество будет доказано. Если у вас есть вопросы по конкретным шагам, пожалуйста, дайте знать!