Чтобы доказать данную тригонометрическую тотожность, начнем с левой части уравнения:

Левая часть: sin^2 alpha + cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha)

Сначала упростим выражение cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) с помощью формулы произведения косинусов:

• cos(A) * cos(B) = (1/2) * (cos(A + B) + cos(A - B))

В нашем случае A = pi/3 + alpha и B = pi/3 - alpha. Теперь подставим:

• A + B = (pi/3 + alpha) + (pi/3 - alpha) = 2 * pi/3
• A - B = (pi/3 + alpha) - (pi/3 - alpha) = 2 * alpha

Таким образом, мы можем записать:

cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) = (1/2) * (cos(2 * pi/3) + cos(2 * alpha))

Теперь подставим значение cos(2 * pi/3):

• cos(2 * pi/3) = -1/2

Теперь подставим это значение в уравнение:

cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) = (1/2) * (-1/2 + cos(2 * alpha)) = (-1/4) + (1/2) * cos(2 * alpha)

Теперь вернемся к нашей левой части:

sin^2 alpha + cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) = sin^2 alpha + (-1/4 + (1/2) * cos(2 * alpha))

Теперь используем тождество sin^2 alpha = (1 - cos(2 * alpha)) / 2:

Подставим это в уравнение:

(1 - cos(2 * alpha)) / 2 - 1/4 + (1/2) * cos(2 * alpha)

Теперь упростим это выражение:

(1 - cos(2 * alpha)) / 2 - 1/4 = (1 - cos(2 * alpha) - 1/2) / 2 = (1 - 2 * cos(2 * alpha) - 1) / 2 = -cos(2 * alpha) / 2

Теперь добавим (1/2) * cos(2 * alpha):

-cos(2 * alpha) / 2 + (1/2) * cos(2 * alpha) = 0

Таким образом, мы получили:

sin^2 alpha + cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) = 1/4

Таким образом, мы доказали данную тотожность:

sin^2 alpha + cos(pi/3 + alpha) * cos(pi/3 - alpha) = 1/4.