Как можно исследовать функцию: а) y=-1/3x³ + 1/2x² - 1 б) y=x³ - 3x²?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции математика 11 класс анализ графиков полиномы свойства функций экстремумы функции поведение функции производная функции Новый

Для исследования функций y=-1/3x³ + 1/2x² - 1 и y=x³ - 3x², мы можем следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим каждый из них по очереди.

1. Исследование функции y=-1/3x³ + 1/2x² - 1:

• Определение области определения: Данная функция является многочленом, поэтому область определения - все действительные числа.
• Находение производной: Найдем первую производную функции для определения критических точек:
  • y' = -x² + x.
• Критические точки: Установим, когда производная равна нулю:
  • -x² + x = 0
  • x(x - 1) = 0
  • Критические точки: x = 0 и x = 1.
• Определение знака производной: Исследуем знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 1) и (1, ∞):
  • На интервале (-∞, 0): y' > 0 (функция возрастает).
  • На интервале (0, 1): y' < 0 (функция убывает).
  • На интервале (1, ∞): y' > 0 (функция возрастает).
• Нахождение значений функции в критических точках:
  • y(0) = -1.
  • y(1) = -1/6.
• Проверка на экстремумы:
  • В точке x = 0 - минимум (значение -1).
  • В точке x = 1 - максимум (значение -1/6).
• Асимптоты: У данной функции нет асимптот, так как это многочлен.
• График функции: Построим график на основе полученных данных.

2. Исследование функции y=x³ - 3x²:

• Определение области определения: Также является многочленом, область определения - все действительные числа.
• Находение производной: Найдем первую производную:
  • y' = 3x² - 6x.
• Критические точки: Установим, когда производная равна нулю:
  • 3x² - 6x = 0
  • 3x(x - 2) = 0
  • Критические точки: x = 0 и x = 2.
• Определение знака производной: Исследуем знак производной на интервалах (-∞, 0), (0, 2) и (2, ∞):
  • На интервале (-∞, 0): y' < 0 (функция убывает).
  • На интервале (0, 2): y' > 0 (функция возрастает).
  • На интервале (2, ∞): y' > 0 (функция возрастает).
• Нахождение значений функции в критических точках:
  • y(0) = 0.
  • y(2) = -12.
• Проверка на экстремумы:
  • В точке x = 0 - минимум (значение 0).
  • В точке x = 2 - максимум (значение -12).
• Асимптоты: У данной функции также нет асимптот.
• График функции: Построим график на основе полученных данных.

Таким образом, мы исследовали обе функции, определили их критические точки, экстремумы и поведение на интервалах. Это позволит лучше понять их графическое представление и свойства.