Чтобы найти точки экстремума, точки перегиба и асимптоты для функции y = 2/(x^2 - 1), нужно выполнить следующие шаги:
-
Найти область определения функции:
- Функция y = 2/(x^2 - 1) не определена, когда знаменатель равен нулю.
- Решим уравнение x^2 - 1 = 0, получаем x^2 = 1, откуда x = ±1.
- Таким образом, область определения функции: x ∈ (-∞, -1) ∪ (-1, 1) ∪ (1, ∞).
-
Найти производную функции для определения экстремумов:
- Найдем первую производную функции: y' = d/dx [2/(x^2 - 1)].
- Используем правило дифференцирования дроби: y' = -2 * 2x / (x^2 - 1)^2 = -4x / (x^2 - 1)^2.
- Найдем критические точки, решив уравнение y' = 0: -4x = 0, откуда x = 0.
- Проверим, является ли x = 0 точкой экстремума, используя второй производной или анализ знака первой производной.
-
Найти вторую производную для определения точек перегиба:
- Найдем вторую производную: y'' = d/dx [-4x/(x^2 - 1)^2].
- Используем правило дифференцирования: y'' = (8x^2 + 4) / (x^2 - 1)^3.
- Решим уравнение y'' = 0, чтобы найти точки перегиба: 8x^2 + 4 = 0, но это уравнение не имеет действительных корней.
- Следовательно, точек перегиба у функции нет.
-
Найти вертикальные и горизонтальные асимптоты:
- Вертикальные асимптоты: Определяются точками, где функция не определена, но стремится к бесконечности. Это x = -1 и x = 1.
- Горизонтальные асимптоты: Исследуем предел функции при x → ±∞: lim (x → ±∞) 2/(x^2 - 1) = 0. Таким образом, y = 0 является горизонтальной асимптотой.
Таким образом, у функции y = 2/(x^2 - 1) есть вертикальные асимптоты при x = -1 и x = 1, горизонтальная асимптота y = 0, критическая точка x = 0, но точек перегиба нет.