Как можно исследовать функцию f ( x )=9х/(9+х^2 ), построить её график и найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-2,2]?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции график функции наибольшее значение наименьшее значение функция f(x) отрезок [-2,2] математика анализ функции Новый

Чтобы исследовать функцию f(x) = 9x / (9 + x²), построить её график и найти наибольшее и наименьшее значения на отрезке [-2, 2], мы можем следовать следующим шагам:

1. Исследование функции:

• Определение области определения: Функция f(x) определена для всех x, так как знаменатель (9 + x²) никогда не равен нулю.
• Нахождение производной: Найдем производную функции f(x) для определения критических точек. Используя правило частного, получаем:

f'(x) = ( (9 + x²) * 9 - 9x * 2x ) / (9 + x²)² = (9 * 9 + 9x² - 18x²) / (9 + x²)² = (81 - 9x²) / (9 + x²)²

• Критические точки: Найдем, где f'(x) = 0. Для этого решим уравнение 81 - 9x² = 0. Получаем:

9x² = 81, откуда x² = 9, следовательно, x = 3 или x = -3. Однако, эти точки находятся вне нашего отрезка [-2, 2].

2. Нахождение значений на границах отрезка:

• Вычисление значений функции на границах:
1. f(-2) = 9 * (-2) / (9 + (-2)²) = -18 / (9 + 4) = -18 / 13.
2. f(2) = 9 * 2 / (9 + 2²) = 18 / (9 + 4) = 18 / 13.
• Проверка значений функции в критических точках: Поскольку критические точки находятся вне отрезка, мы не будем их учитывать.

3. Сравнение значений:

• Теперь сравним значения f(-2) и f(2):
1. f(-2) = -18/13 ≈ -1.38.
2. f(2) = 18/13 ≈ 1.38.

4. Вывод:

Таким образом, на отрезке [-2, 2] наименьшее значение функции f(x) достигается в точке x = -2 и равно -18/13, а наибольшее значение достигается в точке x = 2 и равно 18/13.

5. Построение графика:

• Используйте координатную плоскость: Отметьте точки (-2, -18/13) и (2, 18/13).
• Постройте график: Для более точного графика можно вычислить значения функции для нескольких промежуточных значений x на отрезке [-2, 2], например, для x = -1, 0, 1.

График будет представлять собой гладкую кривую, которая показывает, как функция изменяется от -2 до 2.

Следуя этим шагам, вы сможете исследовать функцию и построить её график, а также найти наибольшее и наименьшее значения на заданном отрезке.