Какова монотонность и экстремумы функции у = F(x), если известно, что она является первообразной для функции у = (x^3-4x)/корень x-1?

Математика 11 класс Исследование функций монотонность функции экстремумы функции первообразная анализ функции производная функции свойства функции график функции исследование функции Новый

Для того чтобы определить монотонность и экстремумы функции y = F(x), которая является первообразной для функции y = (x^3 - 4x) / √(x - 1), необходимо выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции F(x):

Поскольку F(x) является первообразной для данной функции, то:

• F'(x) = (x^3 - 4x) / √(x - 1)

2. Определим область определения функции F'(x):

Функция F'(x) имеет смысл, если √(x - 1) > 0, что означает, что x - 1 > 0 или x > 1. Таким образом, область определения D = (1, +∞).

3. Исследуем знак производной F'(x):

Для определения монотонности функции F(x) необходимо проанализировать знак производной F'(x). Мы можем сделать это, исследуя числитель и знаменатель функции F'(x):

• Числитель: x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2)
• Знаменатель: √(x - 1) всегда положителен для x > 1.

Теперь определим, при каких значениях x функция F'(x) будет положительной или отрицательной:

• Корни числителя: x = 0, x = 2, x = -2. Из них только x = 2 имеет значение в области определения.

Таким образом, исследуем промежутки:

• Для x < 0 (не входит в область определения): F'(x) < 0
• Для 1 < x < 2: F'(x) < 0 (числитель отрицателен)
• Для x > 2: F'(x) > 0 (числитель положителен)

4. Определяем монотонность:

Из анализа производной следует, что:

• Функция F(x) убывает на интервале (1, 2).
• Функция F(x) возрастает на интервале (2, +∞).

5. Находим экстремумы:

Экстремумы функции F(x) находятся в точках, где производная равна нулю или не существует. В нашем случае это происходит в точке x = 2.

Поскольку F'(x) меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 2, это указывает на то, что:

• x = 2 является минимумом функции F(x).

Вывод:

Функция F(x) убывает на интервале (1, 2), достигает минимума в точке x = 2, а затем возрастает на интервале (2, +∞).