Как провести полное исследование функции x^2/(x^2-4)?

Математика 11 класс Исследование функций исследование функции математика дробная функция график функции x^2/(x^2-4) анализ функции поведение функции нули функции асимптоты пределы функции Новый

Для полного исследования функции f(x) = x^2 / (x^2 - 4) необходимо выполнить несколько шагов: определить область определения, исследовать на наличие асимптот, найти нули функции, исследовать поведение функции на промежутках и построить график.

1. Определение области определения:

Область определения функции – это множество всех значений x, для которых функция имеет смысл. В данном случае знаменатель не должен равняться нулю:

• x^2 - 4 ≠ 0
• x^2 ≠ 4
• x ≠ ±2

Таким образом, область определения функции: x ∈ R, x ≠ 2, x ≠ -2.

2. Исследование на асимптоты:

Теперь найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.

• Вертикальные асимптоты: Они возникают, когда функция стремится к бесконечности. В нашем случае это происходит при x = 2 и x = -2.
• Горизонтальные асимптоты: Чтобы найти горизонтальные асимптоты, необходимо проанализировать поведение функции при x → ±∞:

f(x) = x^2 / (x^2 - 4) ≈ x^2 / x^2 = 1, когда x стремится к бесконечности. Значит, есть горизонтальная асимптота y = 1.

3. Нули функции:

Нули функции находятся, когда числитель равен нулю:

• x^2 = 0
• x = 0

Таким образом, функция имеет один нуль в точке x = 0.

4. Исследование знаков функции:

Теперь исследуем, на каких промежутках функция положительна или отрицательна. Для этого определим знаки функции на интервалах, разделенных нулями и асимптотами:

• Интервалы: (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞)

Выберем тестовые точки:

• Для x = -3: f(-3) = 9 / (9 - 4) = 9/5 > 0
• Для x = -1: f(-1) = 1 / (1 - 4) = 1/-3 < 0
• Для x = 1: f(1) = 1 / (1 - 4) = 1/-3 < 0
• Для x = 3: f(3) = 9 / (9 - 4) = 9/5 > 0

Таким образом, знаки функции:

• (-∞, -2) : f(x) > 0
• (-2, 0) : f(x) < 0
• (0, 2) : f(x) < 0
• (2, +∞) : f(x) > 0

5. Построение графика:

Теперь, имея всю информацию, можно построить график функции. На графике будут:

• Вертикальные асимптоты в x = -2 и x = 2;
• Горизонтальная асимптота y = 1;
• Нуль функции в x = 0;
• Знаки функции на интервалах.

График будет иметь два ветви, которые стремятся к горизонтальной асимптоте y = 1, и будут расходиться к вертикальным асимптотам.

Таким образом, мы провели полное исследование функции f(x) = x^2 / (x^2 - 4).