Чтобы исследовать функцию f(x) = x^4 - 2x^3 и построить ее график, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Производная функции поможет нам определить, где функция возрастает или убывает, а также найти точки экстремума.

• f'(x) = 4x^3 - 6x^2

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Уравняем производную нулю:

• 4x^3 - 6x^2 = 0
• Выносим общий множитель: 2x^2(2x - 3) = 0
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 3/2.

Чтобы понять, где функция возрастает, а где убывает, нужно проверить знаки производной на интервалах, определяемых критическими точками:

• Интервал (-∞, 0): выберем x = -1. f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1)^2 = -4 - 6 < 0 (убывает).
• Интервал (0, 3/2): выберем x = 1. f'(1) = 4(1)^3 - 6(1)^2 = 4 - 6 < 0 (убывает).
• Интервал (3/2, +∞): выберем x = 2. f'(2) = 4(2)^3 - 6(2)^2 = 32 - 24 > 0 (возрастает).

• f(0) = 0^4 - 2*0^3 = 0.
• f(3/2) = (3/2)^4 - 2(3/2)^3 = 81/16 - 54/8 = 81/16 - 108/16 = -27/16.

Теперь проверим поведение функции при x стремящемся к ±∞:

• При x → -∞: f(x) → +∞ (так как старший член положителен).
• При x → +∞: f(x) → +∞ (так же, старший член положителен).

Теперь мы можем построить график функции, основываясь на полученной информации:

• Функция убывает на интервалах (-∞, 0) и (0, 3/2).
• Функция достигает минимума в точке (3/2, -27/16).
• Функция возрастает на интервале (3/2, +∞).
• График будет иметь форму "U", но с одним минимумом.

После выполнения всех этих шагов вы сможете построить график функции f(x) = x^4 - 2x^3, учитывая все найденные точки и поведение функции на различных интервалах.