Исследование функции и построение её графика включает несколько этапов. Давайте разберёмся с каждым из них по порядку.

Функция y = (1/5)x⁵ - (4/3)x³ является многочленом, следовательно, область определения - это все действительные числа. То есть, область определения: x ∈ R.

Чтобы исследовать функцию, нам нужно найти её производную, так как она поможет определить точки экстремума и интервалы монотонности.

1. Найдём производную функции:
2. y' = (1/5) * 5x⁴ - (4/3) * 3x² = x⁴ - 4x².

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

• x⁴ - 4x² = 0.
• Вынесем общий множитель: x²(x² - 4) = 0.
• Это уравнение имеет решения: x² = 0 и x² - 4 = 0.
• Следовательно, x = 0, x = 2 и x = -2.

Теперь мы можем определить интервалы монотонности, исследуя знак производной на промежутках, разделённых критическими точками:

• Выберем тестовые точки в интервалах (-∞, -2), (-2, 0), (0, 2), (2, +∞).
• Для x = -3: y' = (-3)⁴ - 4*(-3)² = 81 - 36 = 45 (положительное).
• Для x = -1: y' = (-1)⁴ - 4*(-1)² = 1 - 4 = -3 (отрицательное).
• Для x = 1: y' = 1 - 4 = -3 (отрицательное).
• Для x = 3: y' = 81 - 36 = 45 (положительное).

Таким образом, функция возрастает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), и убывает на интервале (-2, 2).

Теперь найдем значения функции в критических точках:

• y(0) = (1/5)*0⁵ - (4/3)*0³ = 0.
• y(2) = (1/5)*2⁵ - (4/3)*2³ = (1/5)*32 - (4/3)*8 = 6.4 - 10.67 = -4.27.
• y(-2) = (1/5)*(-2)⁵ - (4/3)*(-2)³ = (1/5)*(-32) - (4/3)*(-8) = -6.4 + 10.67 = 4.27.

Теперь, зная интервалы монотонности, можем определить, что:

• x = -2 - локальный максимум (переход от возрастания к убыванию);
• x = 0 - точка перегиба (переход от убывания к возрастанию);
• x = 2 - локальный минимум (переход от убывания к возрастанию).

Теперь, имея все данные, можно построить график функции:

• Наносим точки критических точек (-2, 4.27), (0, 0), (2, -4.27) на координатной плоскости.
• Отмечаем интервалы монотонности: функция возрастает на (-∞, -2) и (2, +∞), убывает на (-2, 2).
• Добавляем асимптоты, если они есть, и другие ключевые точки, например, значение функции при x = 1.

В итоге, график функции будет иметь форму, характерную для кубических функций, с одним локальным максимумом и одним локальным минимумом.