Для исследования функции y = (1/3)x^3 + x^2 + (1/3) на экстремумы и точки перегиба, следуем следующим шагам:

Первая производная функции позволяет нам определить, где функция имеет экстремумы. Найдем производную:

• y' = d/dx [(1/3)x^3 + x^2 + (1/3)] = (1/3) * 3x^2 + 2x = x^2 + 2x.

Критические точки находятся, когда первая производная равна нулю:

• x^2 + 2x = 0.
• Факторизуем: x(x + 2) = 0.
• Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -2.

Для этого найдем вторую производную:

• y'' = d/dx [y'] = d/dx [x^2 + 2x] = 2x + 2.

Теперь подставим критические точки в вторую производную:

• Для x = 0: y''(0) = 2(0) + 2 = 2 (положительное значение, значит, точка x = 0 - минимум).
• Для x = -2: y''(-2) = 2(-2) + 2 = -2 (отрицательное значение, значит, точка x = -2 - максимум).

Точки перегиба определяются, когда вторая производная равна нулю:

• 2x + 2 = 0.
• 2x = -2.
• x = -1.

Мы нашли:

• Критические точки: x = 0 (минимум), x = -2 (максимум).
• Точка перегиба: x = -1.

Для построения графика функции, найдем значения функции в ключевых точках:

• y(-2) = (1/3)(-2)^3 + (-2)^2 + (1/3) = -8/3 + 4 + 1/3 = -8/3 + 12/3 = 4/3.
• y(-1) = (1/3)(-1)^3 + (-1)^2 + (1/3) = -1/3 + 1 + 1/3 = 1.
• y(0) = (1/3)(0)^3 + (0)^2 + (1/3) = 1/3.

Теперь у нас есть точки: (-2, 4/3), (-1, 1) и (0, 1/3). Мы можем изобразить график:

• График будет иметь максимум в точке (-2, 4/3), минимум в точке (0, 1/3) и точку перегиба в (-1, 1).

На графике кривая будет подниматься до точки максимума, затем опускаться до точки перегиба, а затем снова подниматься до минимума.