Как можно найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций у = 6 - х^2 и у = x^4?

Математика 11 класс Площадь фигуры, ограниченной графиками функций площадь фигуры графики функций у = 6 - х^2 у = x^4 11 класс математика Новый

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6 - x^2 и y = x^4, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим их по порядку.

Шаг 1: Найти точки пересечения графиков

Сначала мы должны найти, где графики функций пересекаются. Для этого приравняем функции друг к другу:

6 - x^2 = x^4

Перепишем уравнение в стандартном виде:

x^4 + x^2 - 6 = 0

Теперь заменим x^2 на t, чтобы упростить уравнение:

t^2 + t - 6 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25

Теперь найдем корни уравнения:

• t1 = (-b + sqrt(D)) / (2a) = (-1 + 5) / 2 = 2
• t2 = (-b - sqrt(D)) / (2a) = (-1 - 5) / 2 = -3

Так как t = x^2, и t не может быть отрицательным, мы берем только t1 = 2. Подставим обратно:

x^2 = 2, значит x = ±√2.

Таким образом, точки пересечения графиков находятся в x = -√2 и x = √2.

Шаг 2: Найти площадь между графиками

Теперь, когда мы знаем пределы интегрирования, мы можем найти площадь между графиками. Площадь A можно найти по формуле:

A = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя функция, g(x) - нижняя функция. В нашем случае:

• f(x) = 6 - x^2
• g(x) = x^4

Пределы интегрирования: a = -√2, b = √2.

Итак, площадь будет равна:

A = ∫[-√2, √2] ((6 - x^2) - x^4) dx.

Шаг 3: Вычислить интеграл

Теперь вычислим интеграл:

A = ∫[-√2, √2] (6 - x^2 - x^4) dx.

Решим интеграл по частям:

• ∫(6 - x^2 - x^4) dx = 6x - (x^3)/3 - (x^5)/5.

Теперь подставим пределы интегрирования:

A = [6x - (x^3)/3 - (x^5)/5] от -√2 до √2.

Шаг 4: Подставить пределы

Сначала подставим верхний предел:

A(√2) = 6√2 - (√2)^3/3 - (√2)^5/5 = 6√2 - (2√2)/3 - (4√2)/5.

Теперь подставим нижний предел:

A(-√2) = 6(-√2) - (-√2)^3/3 - (-√2)^5/5 = -6√2 + (2√2)/3 + (4√2)/5.

Теперь вычтем A(-√2) из A(√2):

A = [6√2 - (2√2)/3 - (4√2)/5] - [-6√2 + (2√2)/3 + (4√2)/5].

Шаг 5: Упростить и найти окончательный ответ

После упрощения мы получим окончательное значение площади между графиками:

A = 12√2 - (4√2)/3 - (8√2)/5.

Теперь можно привести к общему знаменателю и получить численное значение.

Таким образом, мы нашли площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = 6 - x^2 и y = x^4.